Plan "B" para entender la relatividad (V): El ejemplo que puso Einstein

Uno de los ejemplos más utilizados por Einstein para dilucidar su teoría de la relatividad es el de un tren que circula por una vía férrea. Hay que recordar que en aquellos tiempos (principios del siglo pasado), la tecnología no contaba con aviones, cohetes u otros medios de transporte mucho más rápidos. El tren de Einstein dispone de un punto de luz en el suelo (digamos, una bombilla) y a cierta altura (A), se colocaba un espejo. Cuando la bombilla se enciende, lanza un fotón hacia el techo, hasta que rebota contra el espejo, trazando así un recorrido vertical que tiene principio (la propia bombilla) y un final (el espejo del techo). Por supuesto, el tren está en marcha y se desplaza hacia aderlante a una velocidad constante, que llamaremos "V"

Lo importante de este caso es que vamos a comparar lo que verá el maquinista del tren y lo que verá un observador que se encuentra detenido en el andén de la vía. Como es obvio, el maquinista marcha en la misma dirección que el tren, la bombilla, el espejo y el rayo de luz o fotón, moviéndose al unísono a la misma velocidad. A esto se le llama "Observador inercial", porque dicho observador tendrá la misma "inercia" que todo el dispositivo observado. Por su parte, el observador que se encuentra detenido en el andén, verá todo el proceso de forma diferente, por el mero hecho de encontrarse detenido, por lo que será llamado "Observador NO inercial".

Cuando la bombilla se activa, el maquinista verá un rayo de luz completamente vertical que trazará una trayectoria recta hacia el espejo, como se observa en el siguiente dibujo:

Ahora bien, el observador que se encuentra en el andén, verá algo completamente diferente. A medida que el tren avance (hacia la derecha), este observador NO inercial comprobará que el fotón no sólo asciende hacia el espejo, sino que además, avanza hacia la derecha, en la misma dirección que marcha del tren. Uniendo con una línea todas las posiciones que va ocupando el fotón a lo largo de su recorrido, el señor del andén "creerá" que la luz sigue una trayectoria diagonal ascendente desde el punto inicial (Posición 1) hasta el punto final (posición 5), como indica el siguiente dibujo:

Uniremos estas posiciones "relativas" del fotón, en cada momento, para trazar la línea que las une. Esta trayectoria de la luz (en color verde, abajo), será el recorrido que, a ojos del observador NO inercial, traza la luz del dispositivo:

Así que ya tenemos determinados los dos recorridos relativos que va a trazar el fotón: Un recorrido vertical a ojos del maquinista, y un recorrido diagonal ascendente, a ojos del observador del andén.

No resulta difícil calcular qué distancias hay entre los puntos de ambos recorridos, ya que conocemos la altura total que alcanza el fotón desde la bombilla hasta el espejo, así como la distancia que avanza el tren, puesto que también conocemos su velocidad constante (distancia entre la Posición 1 inicial y la posición 5 final). Con todos estos datos, trazaremos el siguiente diagrama:

Si nos fijamos bien, lo que tenemos aquí es un simple triángulo rectángulo cuyos lados podemos calcular muy fácilmente y que corresponden a:

D = es la trayectoria del fotón, desde el punto de vista del observador del andén

A = es la trayectoria del fotón, desde el punto de vista del maquinista

R = es el recorrido que efectúa el propio tren durante su avance, desde que el fotón sale de la bombilla (posición 1), hasta que llega al espejo (posición 5)

Pues bien, para calcular el valor que tienen estas distancias, sólo necesitamos conocer la velocidad y el tiempo, usando la sencilla fórmula de VELOCIDAD = DISTANCIA entre TIEMPO.  O lo que es lo mismo: DISTANCIA = VELOCIDAD por TIEMPO

D = V x T

En nuestro ejemplo, conocemos la velocidad de un fotón (lo llamamos "C"), la velocidad del tren (la llamaremos "V"), el TIEMPO que tarda el tren en avanzar (lo llamaremos "T") y el TIEMPO que tarda el fotón en completar su recorrido vertical (lo llamaremos "T1"). Con todos estos datos, se pueden calcular perfectamente las tres distancias que nos interesan, D, A y R.

Sabemos que las distancias son:

D= Velocidad de la luz x Tiempo T

A= Velocidad de la luz x Tiempo T1

R= Velocidad del tren x Tiempo T

Y, finalmente, estas tres distancias guardan una relación pitagórica entre ellas, donde el cuadrado de la hipotenusa (D) es igual al cuadrado del cateto "A, más el cuadrado del cateto "R", o lo que es igual, Hipotenusa D al cuadrado, menos Cateto R al cuadrado, igual a cateto A al cuadrado:

Y ya sólo nos queda operar con todos estos datos. Las operaciones necesarias para comparar el Tiempo que tarda la luz en hacer el recorrido "D" para el observador NO inercial, con el Tiempo de la luz en el recorrido "A" del observador Inercial, nos van a llevar a descubrir el factor de Lorentz, que será el factor con el que se compararán los tiempos, los espacios y las velocidades relativistas. El desarrollo que explicamos a continuación es muy sencillo (está al alcance de cualquier escolar de secundaria), pues sólo exige saber despejar incógnitas en una ecuación bastante básica. Como decíamos al principio, merece la pena seguirlo detalladamente, porque su sencillez es tan impresionante como su grandeza... vamos allá:

Y así es como se obtiene ese factor de conversión conocido como "Transformación de Lorentz", mediante el que se relacionan entre sí el Tiempo que mide un observador Inercial (T1) y otro No inercial (T), en función de las velocidades relativas a las que uno se mueva con respecto a otro. Este factor de conversión se utiliza tanto en los cálculos relativistas, que se suele simplificar con una letra griega"gamma" :

Y, con la esperanza de haber conseguido arrojar un poco de luz sobre el mundo de la Relatividad, despedimos esta serie de 5 artículos sobre las fascinantes paradojas de lo "imposible".