Toro

Hechos sobre toros
Fíjate en estas cosas tan interesantes:
	Se hace girando un círculo pequeño a lo largo de la línea trazada por otro círculo.
	No tiene aristas ni vértices
	No es un poliedro

Y como referencia:
	Área de la superficie = 4 × π² × R × r
	Volumen = 2 × π² × R × r²
	Nota: ¡las fórmulas de área y volumen sólo funcionan cuando el toro tiene un agujero!

¿Sabías que la palabra toro viene de la palabra latina para "cojín"?

(Esto no es un cojín romano de verdad, sólo un dibujo que he hecho)

Toro en el cielo. El toro es un sólido tan interesante, ¡sería divertido tener uno de playa!

Más imágenes de toros

Cuando el radio pequeño (r) crece y crece, el toro pasa de neumático a donut:

viernes, 26 de agosto de 2011

La Geometría Sagrada (2)

PRIMERA PARTE La Geometría Sagrada (1)

9.- El árbol de la vida.
El Árbol de la Vida es el símbolo geométrico que se expresa como la base de la Cábala, que es el antiguo sistema místico del Judaismo. Cada uno de los vértices simboliza una sephirah, que a su vez representa un atributo de Dios (fig. 37). En esta figura se puede ver la perfecta relación existente entre el Árbol de la Vida y el patrón del Génesis manifestado en la semilla de la vida.

Fig. 37 El Arbol de la Vida

Los Sephiroth del Arbol de la Vida:
1. Kether (Corona)………………..6. Tiphereth (Belleza)
2. Binah (Comprensión)………….7. Hod (Gloria)
3. Kjokmah (Sabiduría)…………..8. Netzach (Victoria)
4. Gueburah (Poder)………………9. Yesod (Fundación)
5. Kjesed (Misericordia)………….10. Malkuth (Reino)
10.- La cuadratura del círculo.
Como hemos podido ver, el arco o línea curva representan el arquetipo femenino y el radio o línea recta el masculino. La forma cerrada primaria que construye el arco es el círculo, y en el caso de la línea recta es el cuadrado. Por otro lado el círculo ha sido la forma que se le ha asignado a los cielos y el cuadrado a la tierra. Desde muy antiguo se ha intentado equilibrar o unificar el cielo con la tierra, el espíritu con la materia, lo femenino con lo masculino, etc. En otras palabras, asimilar al máximo el perímetro del cuadrado con el del círculo y su circunferencia. Esto es lo que se conoce como la cuadratura del círculo.
Se trata de construir un cuadrado que tenga el mismo perímetro que un círculo dado. O bien la misma área que un círculo dado. Y resulta que no es posible construirlo usando sólo regla y compás.
Es una tarea que no ha sido fácil y es probable que la respuesta exacta todavía no haya podido encontrarse. La respuesta es que no es posible realizar la construcción con regla y compás, pero por supuesto, existe un cuadrado con la propiedad requerida. Una de las aproximaciones más precisas radica en concebir un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro de la tierra (12.700 klm). Es decir, la tierra queda inscrita en un cuadrado de esta medida. En seguida se traza un círculo haciendo centro en el centro del cuadrado que contiene el círculo de la tierra y cuyo radio es igual a la suma del radio de la tierra (6.350 klm) más el radio de la luna, cuyo diámetro es 3.500 klm aproximadamente (1.750 klm), quedando el radio en cuestión en 8.100 klm (fig. 38)
Tenemos entonces el perímetro del cuadrado A-B-C-D:
12.700 x 4 = 50.800 klms.;
Y el perímetro de la circunferencia de radio R:
2 x Pi (3,1416) = 6,2832 x r (8100) = 50.894
Es decir habría un error de un 1,7 %

Fig. 38 Cuadratura del círculo.

Por otro lado el conocido dibujo de Leonardo da Vinci del hombre Vitruviano, construido en la superposición del círculo y el cuadrado, presenta una aproximación un poco más alejada que la anterior a la buscada cuadratura del círculo (fig. 39). En este dibujo el cuadrado tiene como lado 7 unidades y el radio del círculo es de 4,2 unidades.
Por lo tanto:
Perimetro del cuadrado = 7U x 4 = 28 U
Perimetro de la circunferencia = 2 x pi (3,1416) = 6,2837 x r (4,2 U) = 26,4
Error = 5,7 %

Fig. 39 Hombre Vitruviano de Leonardo da Vinci.

Una tercera aproximación a la cuadratura del círculo se ha construido partiendo de cuatro círculos tangentes cuya suma de diámetros definen el lado del cuadrado que los contiene. Luego, haciendo centro en el cruce de las diagonales del cuadrado y con un radio que se integra al radio de los círculos interiores se traza un circulo exterior que se aproxima a la cuadratura del círculo pero que tampoco es exacta (fig. 40)

Fig. 40 Cuadratura del círculo sobre cuatro círculos tangentes

Perimetro cuadrado = 5 U x 4 = 20
Perimetro de la circunferencia = 2 x pi (3,1416) = 6,2832 x r ( 3 U) = 18,85
Error= 5,75%
11.- El eneagrama.
El eneagrama es un símbolo sagrado cuyos orígenes se han situado en hermandades Sufis y que fue presentado en Occidente por el maestro G. I. Gurdjieff. Este símbolo es una combinación de la Ley de Tres con la Ley de Siete o de la Octava. Sus significados pueden ser múltiples y su análisis requiere de un estudio aparte. En todo caso podemos mencionar que expresa la ley o patrón de evolución y organización de todos los fenómenos y procesos en los diversos planos de la creación. Si bien en esta ocasión sólo veremos el eneagrama como una imagen de dos dimensiones, es recomendable, al menos, imaginarlo como una esfera tridimensional por la cual circulan energías que transitan los nueve puntos repartidos regularmente en el círculo base. Es decir, se trata de un patrón dinámico.
En esta ocasión su construcción geométrica se ha realizado a partir del patrón llamado el fruto de la vida, partiendo de la extensión de la flor de la vida. Primero se han localizado tres ejes de dirección que dividen el patrón mencionado en tres partes iguales. Luego se han ubicado (en azul) los tres círculos exteriores en los extremos de los ejes (fig. 41).
En segunda instancia se ubican (en verde) los círculos tangentes a los azules y entre ellos, y en los centros de los círculos verdes se localizan los puntos que dividen cada uno de los tres tramos en tres sub tramos, quedando un total de nueve de ellos. Estos seis puntos son los que marcan el recorrido de la Ley de Siete. Luego, haciendo centro en el punto central del patrón, y radio en los centros de los círculos verdes, se traza la circunferencia (en rojo) que contiene el eneagrama (fig. 42)
Por último, en los puntos en que la circunferencia de color rojo corta los tres ejes de la fig. 41 se encuentran los tres vértices del triángulo equilátero, el tetraedro que marca los puntos 3, 6 y 9 que simbolizan la Ley de Tres. Por otro lado los puntos 1, 2, 4, 5, 7, y 8 son los que permiten la construcción de la Ley de Siete, cuyo recorrido sigue el orden de 1, 4, 2, 8, 5, 7 y de vuelta al 1.
Esta secuencia nace de la unidad (1) dividida por el total de etapas (7).
Del mismo modo, pero desfasado, resulta al dividir:
1:7 = 0,1428571
2:7 = 0,2857142
3:7 = 0,4285714
4:7 = 0,5714285
5:7 = 0,7142857
6:7 = 0,8571428

Fig. 41 Eneagrama etapa 1

Fig. 42 Eneagrama etapa 2

Fig 43. Eneagrama sobre el fruto de la vida.

El eneagrama es una figura que generalmente se concibe en dos dimensiones, sin embargo al hacerlo en tres dimensiones nos amplía considerablemente las proyecciones que sobre él tenemos (fig 44). En esta figura cada línea se transforma en un círculo y el triángulo conformado por los puntos 3, 6 y 9 se transforma en una pirámide.

Fig. 44 Eneagrama tridimensional, Espacial y volumétrico.

12.- La proporción y la razón matemática.
No cabe duda de que hay variadas definiciones de belleza y muchas de ellas concuerdan en que la belleza se logra cuando hay armonía en las proporciones. Para comprender el concepto de proporción es recomendable remontarse a los orígenes y recurrir a lo que entendían los griegos por proporción.
Entendían que la proporción es la igualdad entre dos razones, y la razón matemática se definió como el cociente de dos magnitudes homogéneas, entendiendo como cociente el resultado de la división de dos números.
La proporción es algo que encontramos en la naturaleza tanto como en la creación humana. Cuando éstas llegan a una cierta aproximación o equivalencia, es que se puede hablar de una razón matemática que se expresa en una proporción divina, sagrada y de alcances espirituales.Se trata de una proporción que, manifestándose en la naturaleza, es aprehendida y aplicada en obras humanas.
En realidad hay muchas proporciones o razones posibles, es un poco críptico hablar de la proporción. En todo caso, aquí proporción se utiliza como sinónimo derazón.
Pero es imposible combinar dos cosas sin una tercera; es preciso que exista entre ellas un vínculo que las una. No hay mejor vínculo que el que hace de sí mismo y de las cosas que une un todo único e idéntico. Ahora bien, tal es la naturaleza de la proporción.

Platón: Timeo.

La Geometría tiene dos grandes tesoros: uno el Teorema de Pitágoras; el otro es la división de una línea en una proporción extrema y una media

Kepler

LA DIVINA PROPORCIÓN A ti, maravillosa disciplina,
media, extrema razón de la hermosura,
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.
A ti, cárcel feliz de la retina
áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura
que el Universo armónico origina.
A ti, mar de los sueños angulares,
flor de las cinco formas regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.

Rafael Alberti

13.- Números racionales, irracionales y trascendentes.
Números Racionales : Es un número que puede ser expresado como la razón de dos números enteros, como 1/3 o 37/22. Todos los números que, cuando son representados en notación decimal, o bien se detienen luego de un número finito de dígitos o caen en un patrón repetitivo, son números racionales.
Números Irracionales: Un número irracional es aquel que no se puede representar como razón de dos números enteros, y en consecuencia no caen en un patrón repetitivo de ningún tipo cuando se expresan en notación decimal.
Números Trascendentales: Estos son ciertos tipos de números irracionales que se llaman números trascendentales. Al igual que los números irracionales , se definen por lo que no son (no son números racionales), sin embargo los números trascendentales se identifican como tal porque no son otro tipo de números, conocidos como números algebraicos.
Un número trascendental requiere de un número infinito de términos para ser definido con exactitud. Es una manera de pensar en Dios. Hay ecuaciones especiales para derivar a los números trascendentales donde los términos son cada vez más pequeños a medida que se avanza, de modo que se pueden ir agregando para alcanzar algún nivel de precisión requerido, pero el verdadero número no se puede lograr con exactitud.Esa es la belleza de los números trascendentales.
Extractado del artículo Why Sacred Geometry from Mid Atlantic.
www.bibliotecapleyades.net/geometria-sagrada
A lo largo de las más diversas civilizaciones y épocas, obras de variadas dimensiones y de profundo contenido han manifestado proporciones a partir de cinco razones matemáticas. Estas son expresadas en números irracionales, es decir que no pueden expresarse como una fracción y cuyo desarrollo decimal consta de infinitas cifras. Si bien estos números son infinitos (en realidad son números finitos y lo que es infinito es el largo de su desarrollo decimal), su equivalencia geométrica se acota en forma precisa. Podemos encontrarlos en obras que van desde las pagodas japonesas, los templos mayas, Stonehenge, las grandes pirámides egipcias, las catedrales góticas, por nombrar sólo algunas; han utilizado estas razones:
13.1.- Raiz cuadrada de dos y el cuadrado.
A partir de un cuadrado de lado 1, trazamos su diagonal la cual lo divide en dos triángulos rectángulos, lo que nos lleva a recurrir nuevamente a Pitágoras (fig. 45) y su cálculo de la hipotenusa.

Fig. 45 Raiz cuadrada de dos en el cuadrado.

13.2.- Raiz cuadrada de tres. El cuadrado extendido y la Vesica Piscis.
Al abatir el tramo AD de la fig. 45 se extiende el tramo AB de valor 1 al tramo AF de valor raiz cuadrada de dos, igual a 1,41421. Esto nos arroja un rectángulo de lado 1 y 1,41421, por lo tanto dos triángulos rectángulos con catetos de estos valores. Aplicamos Pitágoras para conocer el valor de la hipotenusa (fig. 46).
Luego, si trazamos dos círculos con radio común 1 AB, la intersección de éstos genera una Vesica Piscis cuyo lado menor ( AB) es 1.
El lado mayor ( CD) es igual a la raíz cuadrada de tres.
Al unir los vértices del lado mayor C y D con los vértices del lado menor A y B, se obtienen cuatro triángulos rectángulos, a los que, a través de Pitágoras, les podemos conocer el valor del cateto desconocido CE y ED; sumados éstos, nos dan el lado mayor CD de la Vesica Piscis (fig, 47).

Fig. 46 Raíz cuadrada de tres en rectángulo

Fig. 47 Raíz cuadrada de tres en Vesica Piscis

13.3.- Raiz cuadrada de cinco y el doble cuadrado.
La diagonal del doble cuadrado de lado 1 nos proporciona dos triángulos rectángulos de catetos 2 y 1 respectivamente. Aplicando Pitágoras obtenemos la dimensión de la hipotenusa y diagonal del doble cuadrado, que es raíz cuadrada de 5 (fig. 48).

Fig. 48 Raíz cuadrada de cinco en el doble cuadrado

13.4.- Phi (?) y la relación entre el perímetro de la circunferencia y su diámetro.
Uno de los misterios que más ha intrigado a la humanidad se relaciona con el círculo, aquella figura geométrica perfecta que representa el reino espiritual. Este radica en la imposibilidad de resolver con absoluta precisión cuál es la relación que existe entre el diámetro de un círculo y la longitud de su perímetro. Es decir, cuántas veces cabe el diámetro en el largo extendido del perímetro de la circunferencia.
Teniendo un círculo de diámetro 1 de modo que su radio intersepte al eje XY en el punto B, hacemos rodar el círculo en el sentido de los punteros del reloj hasta que el punto B del radio haya dado toda la vuelta e intercepte nuevamente el eje XY. De este modo habremos desplegado el perímetro total de la circunferencia. Esto sucede un poco más allá de haber avanzado tres veces el diámetro del círculo(fig. 49). Este largo se ha definido como Phi ? , con un valor de número irracional 3,14159

Fig. 49 El círculo y el número Phi

13.5.- PhiØ y la Proporción áurea.
Qué es la proporción áurea?
Es la división armónica de una recta en media y extrema razón. Es decir que el segmento menor, es al segmento mayor, como éste es a la totalidad de la recta.
Ya hemos trabajado con patrones estructurados con el círculo femenino y de éstos se han derivado nuevos patrones a los cuales se les ha sobrepuesto la línea recta masculina. En esta oportunidad trabajaremos con la línea recta en forma independiente, con la finalidad de incursionar en el concepto de la proporción, es decir de la relación entre las partes o magnitudes medibles. Esta relación proviene de cierta razón matemática, detrás de la cual se manifiesta la armonía del mundo que nos rodea. En este sentido debemos comprender que nos enfrentamos a una dimensión sensible de la existencia, más allá de un concepto de perfección abstracto.
Cuando hablamos de proporción, lo estamos haciendo respecto de dimensiones comparadas, por lo tanto de números. La comparación más básica que podemos hacer es relacionar un todo que dividimos en dos partes, lo cual nos arroja tres entidades: Parte a, parte b y una totalidad c. Esto lo aplicaremos a un segmento o línea recta entre los puntos A y B, que denominaremos tramo c, en el cual ubicaremos un punto C, que a su vez dividirá el tramo c en dos sub tramos a y b. La relación o proporción más evidente es que el punto C esté ubicado justo al medio del tramo AB, con lo cual tendríamos que a = b y logicamente a+b = c (fig. 50).
Las otras posibilidades son que a sea mayor que b, o que b sea mayor que a.

Fig. 50 Tramo dividido en dos

De acuerdo a Fra Luca Paccoli de Borgo, existe una proporción de origen divino en que la relación de las partes es: a es b como c es a a. En otras palabras que el tramo AB sea al tramo AC como el tramo AC es al tramo CB (fig.50). Es decir que el tramo completo sea al subtramo mayor como éste es al menor.
Una variante interesante es que usemos el punto C para doblar el segmento AB, como si fuera un vara de plomo y lo juntamos con otra igual, para formar un rectángulo. Uno se pregunta entonces, dónde habrá que doblar para que el rectángulo se vea lo más armónico posible Si se hace el experimento con muchos sujetos, la mayoría opta por una forma de rectángulo cuya razón largo: ancho estará muy cerca de la razón áurea.
Solo hay un punto C que cumple con esta condición, que se manifiesta como la razón que expresa la igualdad a/b = a+b/a, que es lo mismo que a/b = c/a, o bien a2 = b (a+b). Esta proporción se reduce a un número que multiplicado por el tramo a me dará el tramo a+b que equivale al tramo c, donde ambos cumplen con la proporción o relación referida. Lo mismo si tomamos el tramo c y lo dividimos por el mismo número obtendremos el valor numérico del tramo a.
Este número es el llamado número áureo o número de oro o simplemente número Phi. Número que encontraremos presente en las bellas artes, en la arquitectura, en las plantas, en el cuerpo humano, en los animales y en todo el universo.
Construcción de la proporción áurea y obtención de Phi a partir del cuadrado y del rectángulo áureo.
Vamos a suponer un tramo a entre los puntos A y C como en la fig. 50. Le daremos al tramo a un valor de 2 unidades. A partir de este tramo se construye un cuadrado ACDE de lado a con valor 2. Acontinuación encontramos el punto medio del tramo AC, el cual queda dividido en dos subtramos de 1 unidad. Unimos este punto con el vértice D del cuadrado y con un compás hacemos centro en el mencionado punto medio y arco en D y lo abatimos sobre la prolongacion del tramo AC donde lo corta está el punto B. Ahora tenemos el tramo b entre los puntos C y B que queda en proporción áurea en relación al tramo a. A su vez esto permite construir el rectángulo áureo ABFE (fig. 51).

Fig. 51 Construcción rectángulo áureo a partir del cuadrado

El número Phi se obtiene a partir del triángulo rectángulo GCD. Según Pitágoras el cuadrado de la hipotenusa ( GD) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Es decir ( GD)2 = ( GC)2+( CD)2
Por lo tanto GD2 = 12 + 22 = 5
GD = ?5
El tramo GD, al abatirse sobre la extensión del tramo AC, se iguala al tramo GB. Entonces el tramo AB es igual al GB+AG, por lo tanto igual a?5+1, lo que se debe dividir por 2 para obtener Phi.
PhiØ = (V5+1):2 = 1,6180339..

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