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El cálculo vectorial o análisis vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Es un enfoque de la geometría diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física.

Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que asocian un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura. El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad.

Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial:

Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial.
Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo vectorial.
Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse o converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.
Laplaciano: relaciona el "promedio" de una propiedad en un punto del espacio con otra magnitud, es un operador diferencial de segundo orden.

La mayoría de los resultados analíticos se entienden más fácilmente usando la maquinaria de la geometría diferencial, de la cual el cálculo vectorial forma un subconjunto.

Historia [editar]

El estudio de los vectores se origina con la invención de los cuaterniones de Hamilton, quien junto a otros los desarrollaron como herramienta matemáticas para la exploración del espacio físico. Pero los resultados fueron desilusionantes, porque vieron que los cuaterniones eran demasiado complicados para entenderlos con rapidez y aplicarlos fácilmente.

Los cuaterniones contenían una parte escalar y una parte vectorial, y las dificultades surgían cuando estas partes se manejaban al mismo tiempo. Los científicos se dieron cuenta de que muchos problemas se podían manejar considerando la parte vectorial por separado y así comenzó el Análisis Vectorial.

Este trabajo se debe principalmente al físico americano Josiah Willard Gibbs (1839-1903).

Véase también [editar]

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vectorial

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Mensaje 2 de 45 en el tema

De: BARILOCHENSE6999

Enviado: 23/05/2013 23:46

Divergencia (matemática)

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La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

Índice

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Divergencia de un campo vectorial [editar]

La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:

${ m div} vec F = ablacdot vec F = lim_{Delta V o 0} frac{1}{Delta V} oint_S vec F cdot dvec S$

donde $S$ es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite. El símbolo $abla$ representa el operador nabla.

Esta definición está directamente relacionada con el concepto de flujo del campo. Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el campo posee fuentes. Si la divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros. El ejemplo más característico lo dan las cargas eléctricas, que dan la divergencia del campo eléctrico, siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del campo eléctrico.

Se llaman fuentes escalares del campo $vec {F}$ al campo escalar que se obtiene a partir de la divergencia de $vec {F}$

$ho(vec r) = ablacdotvec F(vec r)$

La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el flujo a través del teorema de Gauss o teorema de la divergencia.

Coordenadas cartesianas [editar]

Cuando la definición de divergencia se aplica al caso de un campo expresado en coordenadas cartesianas,

$vec F(vec r) = F_x(x,y,z)hat i + F_y(x,y,z)hat j + F_z(x,y,z)hat k$

el resultado es sencillo:

$ablacdotvec F = frac{partial F_x}{partial x}+ frac{partial F_y}{partial y}+ frac{partial F_z}{partial z}$

Coordenadas ortogonales [editar]

Sin embargo, para un caso más general de coordenadas ortogonales curvilíneas, como las cilíndricas o las esféricas, la expresión se complica debido a la dependencia de los vectores de la base con la posición. La expresión para un sistema de coordenadas ortogonales es:

$ablacdotvec F = frac{1}{h_1h_2h_3}left(frac{partial(F_1h_2h_3)}{partial q_1} + frac{partial(h_1F_2h_3)}{partial q_2} + frac{partial(h_1h_2F_3)}{partial q_3} ight)$

Donde los $h_i,$ son los factores de escala del sistema de coordenadas, relacionados con la forma del tensor métrico en dicho sistema de coordenadas. Esta fórmula general, para el caso de coordenadas cartesianas ( $h_x=h_y=h_z=1$ ) se reduce a la expresión anterior.

Para coordenadas cilíndricas ( $h_ ho=h_z=1, h_varphi= ho$ ) resulta:

$ablacdotvec F = frac{1}{ ho}frac{partial( ho F_ ho)}{partial ho} + frac{1}{ ho}frac{partial F_varphi}{partial varphi} + frac{partial F_z}{partial z}$

Para coordenadas esféricas ( $h_r=1, h_ heta=r, h_varphi=r {sin} heta$ ) resulta

$ablacdotvec F = frac{1}{r^2}frac{partial(r^2 F_r)}{partial r} + frac{1}{r{sin} heta}frac{partial({ sin} heta F_ heta)}{partial heta} + frac{1}{r{sin} heta}frac{partial(F_varphi)}{partial varphi}$

Coordenadas generales [editar]

En sistemas de coordenadas generales, no necesariamente ortogonales, la divergencia de un vector puede expresarse en términos de las derivadas parciales respecto a las coordenadas y el determinante del tensor métrico:

$operatorname{div} mathbf{v} = frac{1}{sqrt{|g|}} frac{part}{part x^k} left(sqrt{|g|} v^k ight)$

Divergencia de un campo tensorial [editar]

El concepto de divergencia puede extenderse a un campo tensorial de orden superior. En una variedad de Riemann la divergencia de un tensor T completamente simétrico

$T = T_{j_1dots j_n}^{i_1 dots i_m} frac{part}{part x^{i_1}}otimes frac{part}{part x^{i_m}}otimes mathrm{d}x^{j_1}otimes mathrm{d}x^{j_n}$

Se define como:

$[operatorname{div} T]_{j_1dots j_n}^{i_1 dots i_m} = abla_{alpha}T_{j_1 dots j_n}^{i_1 dots i_{m-1} alpha} = part_alpha T_{j_1,dots,j_n}^{i_1 dots i_{m-1}alpha} + Gamma^{i_1}_{alphaeta}T_{j_1 dots,j_n}^{eta dots i_m}+ dots + Gamma^{i_m}_{alphaeta}T_{j_1 dots,j_n}^{i_1 dots eta}$

Por ejemplo, en teoría de la relatividad especial la energía de un sistema se representa por un tensor simétrico de segundo orden, cuya divergencia es cero. De hecho el principio de conservación de la energía relativista toma la forma:

$abla_i T^{ij} = 0$

Teorema de la divergencia [editar]

El teorema de la divergencia, frecuentemente llamado teorema de Gauss, relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de la divergencia de dicho campo en el interior del volumen encerrado por una superficie. Ese resultado lo hace interesante en aplicaciones relacionadas con la electrostática como en la mecánica de fluidos.

El teorema se enuncia así: Sea una función vectorial $mathbf{v}$ diferenciable definida sobre un conjunto $OmegasubsetR^3$ y sea $mathcal{R}subset Omega$ un conjunto cerrado limitado por una frontera $partmathcal{R}$ o superficie de contorno (que sea una variedad diferenciable) y sea $mathbf{n}$ el vector normal en cada punto de la superficie, entonces se cumple que: