Darse cuenta de que, esa es la expresión correcta, no darse cuenta de. A menudo, por temor a caer en el dequeísmo, quitamos ese “de” y metemos la pata… La Fundéu BBVA nos lo aclara:

En la expresión se dio cuenta de que no se debe suprimir la preposición "de".

En algunas noticias aparecen los giros se dio cuenta que y se dieron cuenta que: Se dio cuenta que atravesaban por las mismas dificultades y por ello decidieron agruparse; Cuando el hombre abrió el baúl se dieron cuenta que era una bomba.

Darse cuenta de algo significa “advertirlo” o “percatarse de ello” y el complemento de esta locución verbal se introduce con la preposición "de", aun en los casos en los que sigue la conjunción "que", según señala el Diccionario panhispánico de dudas.

En consecuencia, en los ejemplos citados debió haberse escrito: Se dio cuenta de que atravesaban por las mismas dificultades y por ello decidieron agruparse; Cuando el hombre abrió el baúl se dieron cuenta de que era una bomba.