Ejemplo de campo vectorial no conservativo cuyo rotacional no se anula.

En matemáticas, un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial. Es una expresión de cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclidiano, de la forma {displaystyle varphi :mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} ^{m}}.

Los campos vectoriales se utilizan en física, por ejemplo, para representar la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética.

Como expresión matemática rigurosa, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad. Este es el tipo de tratamiento necesario para modelizar el espacio-tiempo curvode la teoría general de la relatividad por ejemplo.

 Definición[editar]

Un campo vectorial sobre un subconjunto del espacio euclidiano {displaystyle Xsubset mathbb {R} ^{n}} es una función con valores vectoriales:

{displaystyle mathbf {F} :X ightarrow mathbb {R} ^{n},}

Se dice que {displaystyle mathbf {F} } es un campo vectorial C^k si como función es k veces diferenciable con continuidad en X. Un campo vectorial se puede visualizar como un espacio X con un vector n- dimensional unido a cada punto en X.

Operaciones con campos vectoriales[editar]

Dados dos campos vectoriales {displaystyle C^{k}}, {displaystyle F} y {displaystyle G}, definidos sobre X y una función C^k a valores reales f definida sobre X, se definen las operaciones producto por escalar y adición:

{displaystyle (fmathbf {F} )(mathbf {x} )=f(mathbf {x} )mathbf {F} (mathbf {x} )}

Debido a la linealidad de la función (F+G):

{displaystyle mathbf {(F+G)} (mathbf {x} )=mathbf {F} (mathbf {x} )+mathbf {G} (mathbf {x} )}

define el módulo de los campos vectoriales C^k sobre el anillo de las funciones C^k. Alternativamente el conjunto de todos los campos vectoriales sobre un determinado subconjunto X es en sí mismo un espacio vectorial.

 Derivación y potenciales escalares y vectores[editar]

Los campos vectoriales se deben comparar a los campos escalares, que asocian un número o escalar a cada punto en el espacio (o a cada punto de alguna variedad).

Las derivadas de un campo vectorial, que dan por resultado un campo escalar u otro campo vectorial, se llaman divergenciay rotor respectivamente. Recíprocamente:

• Dado un campo vectorial cuyo rotacional se anula en un punto , existe un campo potencial escalar cuyo gradiente coincide con el campo escalar en un entorno de ese punto.
• Dado un campo vectorial solenoidal cuya divergencia se anula en un punto, existe un campo vectorial llamado potencial vector cuyo rotacional coincide con el campo escalar en un entorno de ese punto.

Estas propiedades derivan del teorema de Poincaré.

Puntos estacionarios[editar]

Un punto {displaystyle scriptstyle xin X} es estacionario si:

{displaystyle mathbf {F} (mathbf {x} )=mathbf {0} }

El conjunto de todos los espacios vectoriales definidos sobre un subconjunto X, que son estacionarios en un determinado punto forman un subespacio vectorial del conjunto del espacio vectorial definido en la sección anterior.

Ejemplos[editar]

• Un campo vectorial para el movimiento del aire en la tierra asociará a cada punto en la superficie de la tierra un vector con la velocidad y la dirección del viento en ese punto. Esto se puede dibujar usando flechas para representar el viento; la longitud (magnitud) de la flecha será una indicación de la velocidad del viento. Un "Alta" en la función usual de la presión barométrica actuaría así como una fuente (flechas saliendo), y un "Baja" será un sumidero (flechas que entran), puesto que el aire tiende a moverse desde las áreas de alta presión a las áreas de presión baja.

• Un campo de velocidad de un líquido móvil. En este caso, un vector de velocidad se asocia a cada punto en el líquido. En un túnel de viento, las líneas de campo se pueden revelar usando humo.

• Campos magnéticos. Las líneas de campo se pueden revelar usando pequeñas limaduras de hierro.

• Las ecuaciones de Maxwell permiten que utilicemos un conjunto dado de condiciones iniciales para deducir, para cada punto en el espacio euclidiano, una magnitud y una dirección para la fuerza experimentada por una partícula de pruebacargada en ese punto; el campo vectorial que resulta es el campo electromagnético.