Propiedades numéricas del 6, 60, 216 y 666

Martes, 11 agosto 2009 por qbit

Índice.

Introducción.
6.
60: Sistema sexagesimal.
216.
666.

Introducción.

He recopilado las propiedades numéricas más importantes o llamativas de los números 6, 60, 216 y 666, que son números relacionados entre sí.

Este artículo de Matemáticas sirve de introducción al siguiente, un artículo sobre numerología (esoterismo), aplicada en sociopolítica, religión y misticismo de los números 6, 216, 666 y 6 millones.

Antes de continuar, es necesario ser consciente de la ley fuerte de los números pequeños, según la cual, los números pequeños, al ser pocos, aparecen por todas partes e intervienen en multitud de casualidades numéricas. Esto no debe llevar a engaño y hacer creer que dichas casualidades son más especiales o que señalan algo mágico. Todos los números pequeños “disfrutan” de muchas curiosidades numéricas.

Euclides llamó al número 6 “perfecto” por ser igual a la suma de sus divisores (6 = 1+2+3). Desde entonces a los números que tienen esta propiedad se les llama perfectos: 28, 496, 8128, …

El 6 es el menor número perfecto.
Es el segundo número compuesto más pequeño.
Es el tercer número triangular: T(3) = 6· T(8) = 36 (6 · 6) también es triangular.
Es un número octahedral.
Es un número congruente.
Es el único número resultado de la suma y el producto de tres enteros positivos.
Es un número perfecto unitario, un número divisor armónico y un número altamente compuesto.

60: Sistema sexagesimal.

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración de base 60 (6 x 10), cuyo origen procede de los sumerios, pasando luego a los babilonios. El sistema sexagesimal se usa para medir tiempos (horas, minutos y segundos) y ángulos (grados, minutos y segundos). En este sistema, 60 unidades de un orden forman una unidad de orden superior. El número 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60), con lo que se facilita el cálculo con fracciones. 60 es el número más pequeño que es divisible por 1, 2, 3, 4, 5 y 6:

Unidades de tiempo:

1 minuto = 60 segundos (6 · 10)
1 hora = 60 minutos (6 · 10)
1 día = 24 horas (6 · 4)
1 semana = 7 días (6 días laborables + 1 de descanso)
1 mes = 30 días (6 · 5)
1 año = 12 meses (6 · 2) = 360 + 5 días (6 · 6 · 10 + 5)

Unidades de ángulos:

Minuto de arco = 60 segundos de arco (6 · 10)
Grado = 60 minutos de arco (6 · 10)
Círculo = 360 grados (6 · 6 · 10)

Se ve claramente la relación entre grados de circunferencia y tiempo. Supongo que la medición del tiempo con relojes circulares y manecillas que miden segundos y minutos procede de la trigonometría (y la astronomía) sexagesimal, o al revés.

El calendario chino está formado por 5 ciclos de 12 años cada uno (60 años en total).

El sextante es un antiguo instrumento de navegación que mide ángulos entre dos objetos lejanos. El nombre sextante proviene de la escala del instrumento, que abarca un ángulo de 60 grados, un sexto de un círculo completo.

El sistema de numeración babilónico era base 60. Pero a diferencia del sistema decimal que tiene 10 símbolos distintos para representar los números, los babilonios sólo empleaban 2 símbolos que combinados producían los 60 símbolos de su sistema de numeración, el cual tenía vestigios de un sistema de numeración decimal.

En geometría euclidiana: Todos los ángulos internos de un triángulo equilátero tienen 60º. La suma de los grados de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180º (6 · 3 · 10).

Relación con los números primos: Divisores de 60 son los tres primeros números primos: 2, 3 y 5. También son números primos el anterior y el siguiente al 60: 59 y 61.

Relación con el número $pi$ : Ptolomeo usaba para $pi$ una gran aproximación:

$frac {377}{120} = 3 + frac {8}{60} + frac {30}{60^2}$

216.

216 es el volumen del cubo formado por un lado de longitud 6: 216 = 6³.

También es el más pequeño cubo que es la suma de 3 cubos consecutivos: 216 = 6³ = 3³ + 4³ + 5³.

Es la suma de dos primos gemelos: 216 = 107 + 109.

Es un número intocable.

Es un número de Harshad en base 10.

216 = φ(666), en donde la función φ de Euler es la cantidad de números enteros menores que $pi$ y coprimos con $pi$ .

666.

Es un número abundante.

Forma parte de los índices de la secuencia de Padovan de números primos.

Propiedades como repdigit (número con todos los dígitos iguales):

Es un repdigit.
Es el repdigit triangular más grande.
Propiedad de los repdigits: La media armónica de los dígitos decimales de 666 es un número entero: 6 = $frac {3}{frac {1}{6} + frac {1}{6} + frac {1}{6}}$

Relación con números primos:

Es la suma de dos números primos capicúas consecutivos: 666 = 313 + 353.
La cantidad de números primos hasta 666 es 121, y 121 es la cantidad de números primos hasta 36.
Es la suma de los cuadrados de los primeros 7 números primos: 666 = 2² + 3² + 5² + 7² + 11² + 13² + 17²
Es un número de Smith: 666 = 2·3·3·37 y 6+6+6 = 2+3+3+3+7
φ(666) = 6·6·6 = 216.
902659997773 es el menor número primo cuyo inverso tiene un periodo de 666 decimales de longitud.

Relaciones numéricas:

6 = 1 − 2² + 3²
66 = 1 − 2⁴ + 3⁴
666 = 1⁶ – 2⁶ + 3⁶
666 =6⁴– 6³– 6³– 6³+ 6 + 6 + 6
666 =6 + 6 + 6 + 6·(6·6 + 6·6 + 6·6)
Es la suma de sus dígitos más los cubos de sus dígitos: 666 = 6 + 6 + 6 + 6³ + 6³ + 6³ (hay en total 6 números con esta propiedad).
666 es un divisor de 123456789 + 987654321 (observar que dichos números son la concatenación de todos los dígitos del 1 al 9, y del 9 al 1), como también lo son los siguientes:
666 = 1 + 2 + 3 + 4 + 567 + 89 = 123 + 456 + 78 + 9
666 = 9 +87 + 6 + 543 + 21
Suma capicúa de cubos: 666 = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 5³ + 4³ + 3³ + 2³ + 1³.

Fracciones: Fracción 666

Relaciones numéricas pitagóricas y triangulares:

Es el 36º número triangular: T(6·6) = 666 = 1 + 2 + 3 + 4 … + 34 + 35 + 36 (y 36 = 6·6).
Es el 8º número doblemente triangular (aplicación: hay 666 maneras de pintar los vértices de un cuadrado con 8 colores).
Es el repdigit triangular más grande.
Es el número triangular más pequeño de la forma a² + b², siendo a+b también triangular. Ejemplo:
T(6·6) = 666 = T(5)² + T(6)² = 15² + 21², siendo 15 y 21 a su vez números triangulares consecutivos.
El triplete (216, 630, 666) es un triplete pitagórico (la suma de los cuadrados de los primeros = al cuadrado del tercero): (6·6·6)² + (666 – 6·6)² = 666²
Se conocen dos triángulos pitagóricos cuya área es un número repdigit, y ese número repdigit está relacionado con el 6 y el 666: (3, 4, 5) con área 6, y (693, 1924, 2045) con área 666666.

Relación con (6² + n²):

666 = (6 + 6 + 6) · (6² + 1²)
666 = 6! · (6² + 1²) / (6² + 2²)

Relación con constantes superimportantes:

Es la suma de los primeros 144 dígitos de $pi$ , en donde 144 = (6+6)(6+6).
Φ = -2 sen (666 º) = -2 cos (6·6·6 º) = -(sen (666 º) + cos (6·6·6 º)) = -(sen (666 º) + cos (6⁶·6 º)) = -(sen (666 º) + cos (6⁶⁶ º)) = -(sen (666 º) + cos (666⁶⁶⁶ º))

En donde Φ es la razón áurea y 6·6·6 = 216.

En números romanos, DCLXVI = 666, que es precisamente la concatenación de los primeros 6 dígitos romanos de mayor a menor.

https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_sexagesimal

Sistema sexagesimal

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración posicional que emplea como base aritmética el número 60. Tuvo su origen en la antigua mesopotamia, en la civilización sumeria. También fue empleado por los árabes durante el califato omeya. El sistema sexagesimal se usa para medir tiempos (horas, minutos y segundos) y ángulos (grados, minutos y segundos).

Índice

Introducción

El número 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60), con lo que se facilita el cálculo con fracciones. Nótese que 60 es el número más pequeño que es divisible por 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

El uso del número sesenta como base para la medición de ángulos, coordenadas y medidas de tiempo se vincula a la vieja astronomía y a la trigonometría. Era común medir el ángulo de elevación de un astro y la trigonometría utiliza triángulos rectángulos. En la Antigüedad, lo que ahora llamamos números enteros positivos —excluido el cero— eran los únicos números "bona fide". Los números racionales actuales eran considerados razones entre números enteros, pues la filosofía imperante recurría a la proporción y una fracción, en definitiva, era una comparación proporcional entre dos segmentos de valores enteros. Todo esto vinculado a lo que llamamos mínimo común múltiplo. Todos los triángulos rectángulos de lados enteros tienen la propiedad de que el producto de sus tres lados es siempre un múltiplo de sesenta. Si uno de los catetos es primo, el otro es al menos múltiplo de doce y resulta múltiplo de sesenta si también la hipotenusa es prima. Si no hay cateto primo, un cateto es divisible por tres y el otro por cuatro; cualquiera de los tres lados es múltiplo de cinco. Esta penúltima afirmación tiene por excepción al triángulo sagrado egipcio, que tiene un cateto primo y la hipotenusa prima, pero el cateto compuesto es múltiplo de cuatro: (3, 4, 5), aunque el producto es sesenta. Otros ejemplos de triángulos con cateto e hipotenusa primos son: (11, 60, 61) y (71, 2520, 2521).

Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medición del tiempo. Hay 24 horas en un día, 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto. Las unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal.

Para expresar los números en el sistema sexagesimal, se sigue un convenio que consiste en emplear los números del sistema decimal (de 0 a 59), separados de dos en dos por comas. Para indicar la coma decimal, se emplearía un punto y coma sexagesimal. Por ejemplo, el número 1;07,30 corresponde a 1 + 07/60 + 30/60² = 1,125 en decimal. durante el Califato Omeya, el sistema sexagesimal fue empleado por los árabes tanto para contar el tiempo como para la geometría y trigonometría que había evolucionado de los ancestros babilónicos, pasando por el viejo Egipto y muchas otras culturas. Fueron precisamente los árabes quienes asentaron el uso del sistema sexagesimal en la cultura moderna, ya que durante casi 500 años ostentaron todo el potencial científico sin discusión. Al igual que en su momento los babilonios trazaron las primeras líneas para que los árabes utilizaran su sistema años después, estos cimentaron el uso del sistema sexagesimal tal y como lo conocemos hoy día. Y por muy curiosos que resulte todavía sigue funcionando a la perfección.

Suma y resta del sistema sexagesimal en las matemáticas

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es su sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.

     1 h   60 min  60 s
     1º   60'        60"

Operaciones en el sistema sexagesimal

Suma

1.^er paso Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.

2o paso Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirá a los minutos.

3.^er paso Se hace lo mismo para los minutos.

Resta

1.^er paso Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.

2o paso Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.

3.^er paso Hacemos lo mismo con los minutos.

Origen

Al igual que en el caso del sistema decimal, el origen se remonta a una manera de enumerar usando los dedos de las manos. En la Antigüedad los habitantes del llamado Creciente Fértil contaban señalando con el dedo pulgar de la mano derecha, si se era diestro, cada una de las 3 falanges de los restantes dedos de la misma mano, comenzando por el meñique. Con este método se puede contar hasta 12. Y para seguir con cifras mayores, cada vez que realizaban esta operación se levanta un dedo de la mano libre —la izquierda— hasta completar 60 unidades (12 x 5 = 60), por lo que este número fue considerado una «cifra redonda», convirtiéndose en una referencia habitual en transacciones y medidas. Similar suerte corrió el número contado en la mano derecha, el 12, y algunos múltiplos como 24, 180 (12 x 15, o bien 60 x 3) y 360 (12 x 30, o bien 60 x 6). Por esto, el sistema sexagesimal se emparenta en su raíces históricas con el sistema duodecimal.

Esta forma de contar con los dedos (hasta 12 y, luego, hasta 60) sigue siendo usada en la actualidad por algunos habitantes del Medio Oriente.¹

El matemático Sergei Fomin reseñaba otras dos antiguas explicaciones sobre el origen del sistema sexagesimal, aunque él las consideraba poco creíbles y pobremente argumentadas. La primera hipótesis era que el sistema sexagesimal surgió del compromiso político entre dos tribus que se confederaron, combinando sus respectivos sistemas numéricos (senario y decimal). La segunda, presentada el sistema como un derivado de la observación astronómica y no un resultado del uso cotidiano. De tal forma que, como los mesopotámicos establecieron su año en 360 días, habrían concluido el uso de un divisor de ese número (el 60) como cifra base de toda su numeración.²

El uso astronómico en el origen

En Babilonia se dividió la circunferencia en 360 arcos iguales. Cada una de esas partes recibió el nombre de grado y a cada una de ellas se le asignó un dios. En el zodíaco vuelve a aparecer el doce, pues esa cantidad de signos o «casas» tiene el sistema, abarcando un arco de 30 grados y un conjunto de la misma cantidad de dioses. El sistema religioso era muy estricto y dogmático y exigía que los ángulos fueran construidos mediante regla no graduada de un solo borde y longitud indefinida, más un compás de abertura fija, mientras se trazaba una circunferencia, pero que se cerraba al levantarlo, con lo que no era posible usarlo para transportar segmentos o medidas (Ver: Regla y compás). Este sistema de construcción geométrica era considerado de origen y uso divino; según estas creencias el universo había sido creado con ese método de construcción geométrica.

Lo que constituye un misterio es saber cómo se desarrolló plenamente ese sistema religioso geométrico, ya que el Teorema General de Ciclotomía de Gauss, de 1801, demuestra imposible la construcción para muchos ángulos de un número entero de grados: cualquiera que no sea múltiplo de 3º.

Es un problema abierto determinar si los sacerdotes se conformaron con aproximaciones o con métodos no sagrados, como hacer marcas en la regla. Esto hubiera destruido toda una filosofía y si hubiese ocurrido tendrían que haberlo escondido cuidadosamente de los hombres cultos no pertenecientes al clero.

Cada 315 años el Sol y la Luna vuelven a situarse en el mismo lugar en el firmamento, con un error de 7 u 8 minutos de arco. Esto constituye un poco más del doble de la separación mínima que puede detectar el ojo humano sin instrumentos de aumento. El pequeño error debería tener un significado religioso ignorado por nuestra civilización, puesto que el grado era ocupado por un dios y se dividía en 60 minutos. Pero tanto el Sol como la Luna caían en el mismo dominio «divino». Cuatro períodos abarcan 1260 años, que equivalen a 3 + ½ veces 360 años. Llevando el conjunto a su mínima expresión entera tenemos el período astronómico de 2520 años, que forma parte de un triángulo rectángulo con un cateto y la hipotenusa primos: (71, 2520, 2521). Estos números, 1260 y 2520, son múltiplos de 12, 40 y 60 y pueden ocupar cualquier cateto y la hipotenusa de triángulos rectángulos semejantes al triángulo sagrado egipcio (3, 4, 5) y, en general, de cualquier triángulo rectángulo de lados enteros, en especial de aquellos con un cateto primo.

Ejemplos

La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 es igual a la raíz cuadrada de 2. Una aproximación muy buena de este valor es:

1,414212... = 30547/21600 = 1;24,51,10 (sexagesimal = 1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³),

una constante que ya fue utilizada por los matemáticos babilonios del Periodo Babilónico Antiguo (1900 a. C. – 1650 a. C.), y que se recoge en la tablilla de barro YBC 7289. Un valor más exacto de

sqrt2

es 1;24,51,10,07,46,06,04,44,...

La duración del año tropical en la astronomía neo-babilónica (véase: Hiparco):

365,24579... = 06,05;14,44,51 (365 + 14/60 + 44/60² + 51/60³).

El valor de π que empleaba Ptolomeo

3,141666... = 377/120 = 3;08,30 (3 + 8/60 + 30/60²).

Fracciones

El número 60 tiene como divisores primos los tres primeros números primos, es decir, 2, 3 y 5. Cualquier fracción cuyo denominador sea de la forma 2^a · 3^b · 5^c tendrá un desarrollo sexagesimal exacto, con a, b y c números enteros iguales o mayores que 0.

Sin embargo, en los casos en que el desarrollo no es exacto, el periodo será generalmente largo. Como tanto el número anterior como el posterior a 60 son primos (59 y 61, respectivamente), para que el periodo sólo sea de una o dos cifras el denominador tiene que ser 59, 61, el producto de los dos (3599) o cualquiera de los anteriores por un número de la forma 2^a · 3^b · 5^c. En cualquier otro caso, el periodo será más largo.

1/2 = 0;30

1/3 = 0;20

1/4 = 0;15

1/5 = 0;12

1/6 = 0;10

1/7 = 0;08,34,17

1/8 = 0;07,30

1/9 = 0;06,40

1/10 = 0;06

1/11 = 0;05,27,16,21,49

1/12 = 0;05

1/13 = 0;04,36,55,23

1/14 = 0;04,17,08,34

1/15 = 0;04

1/16 = 0;03,45

1/17 = 0;03,31,45,52,56,28,14,07

1/18 = 0;03,20

1/19 = 0;03,09,28,25,15,47,22,06,18,56,50,31,34,44,12,37,53,41

1/20 = 0;03

1/24 = 0;02,30

1/25 = 0;02,24

1/27 = 0;02,13,20

1/30 = 0;02

1/32 = 0;01,52,30

1/36 = 0;01,40

1/40 = 0;01,30

1/45 = 0;01,20

1/48 = 0;01,15

1/50 = 0;01,12

1/54 = 0;01,06,40

1/59 = 0;01

1/1,00 = 0;01 (1/60 en decimal).

Tablas de multiplicar

Las tablas de multiplicar en base-sesenta son relativamente difíciles de memorizar, ya que se trata de memorizar 59×60/2 = 1770 productos distintos. A modo de comparación, en el sistema decimal hay que memorizar 9×10/2 = 45 productos. ejemplo:

8*5=40 1.8 2.8 3.8 4.8 5.8=40

Búsqueda de números primos

Los números primos pueden terminar en las siguientes cifras: 01, 07, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53 o 59.

En otras palabras, si tenemos un número natural cuya última cifra, en base-sesenta, es un número primo (que no sea 02, 03 o 05), el 01 o el 49, entonces ese número puede ser primo — y se podría comprobar empleando algún método de primalidad. Si no termina en alguna de esas cifras, entonces tiene que ser compuesto.

Referencias

Bibliografía

Dantzig, Tobías (1971). El Número. Lenguaje de la Ciencia. Buenos Aires: Editorial Hobbs Sudamericana. (Traducido de la cuarta edición en inglés). El libro hace una historia de la evolución del concepto de número para el lector culto no matemático. Tuvo un comentario elogioso de Albert Einstein y fue referencia para la reforma educativa en Argentina. Trata acerca de los sistemas de numeración y del completo desarrollo del concepto de número, no explicando deliberadamente los conceptos que no son asimilables por un lector no matemático como, por ejemplo, los ideales. Particularmente en él se encontrará una demostración incompleta del teorema que dice que el producto de los lados de un triángulo rectángulo es siempre múltiplo de sesenta, ubicada en la página 295 de la referencia antecitada; esto debido a una omisión en cuanto al carácter primo de un cateto. Se editó por lo menos cuatro veces en inglés en los Estados Unidos de América y dos en español en Argentina. La referencia corresponde a la segunda edición en Argentina y la primera fue realizada por otra editorial en 1947.