ESFERA

Para otros usos de este término, véase Esfera (desambiguación).

Proyección en dos dimensiones de una esfera definida mediante paralelos y meridianos.

En geometría, una superficie esférica es una superficie de revolución formada por el conjunto de los puntos del espacio cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro. Los puntos cuya distancia es menor que la longitud del radio forman el interior de la superficie esférica. La unión del interior y la superficie esférica se llama bola cerrada.

La esfera, como superficie de revolución, se genera haciendo girar una superficie semicircular alrededor de su diámetro (Euclides, L. XI, def. 14).

Esfera proviene del término griego σφαῖρα, sphaîra, que significa pelota (para jugar). Coloquialmente hablando, se emplea la palabra bola, para describir al cuerpo delimitado por una esfera.

Dos posiciones[editar]

Como superficie[editar]

La esfera ( superficie esférica) es el conjunto de los puntos del espacio tridimensional que tienen la misma distancia a un punto punto fijo; este se llama centro; tanto el segmento que une un punto con el centro, como la longitud del segmento, se denominan radio. En este caso se genera al rotar una semicircunferencia , usando como eje de rotación su diámetro. ^[1] . Este concepto se usa al definir la esfera en geometría analítica del espacio.

Como sólido[editar]

La esfera ( sólido esférico) es el conjunto de puntos del espacio tridimensional tal que un punto cualquiera tiene una distancia no mayor que una constante dada a un punto llamado centro. La distancia constante se llama radio. Este concepto coincide con la definición de bola cerrada en el análisis real de ℝ³. Se genera al rotar un semicírculo, teniendo como eje de rotación su diámetro. ^[2] .

En esta situación, topológicamente, se puede hablar de frontera( Fr) el conjunto de puntos de la esfera de distancia igual al radio; interior ( Int), el conjunto de puntos de distancia menor que el radio; exterior (Ext), el conjunto de puntos de distancia mayor que el radio. Cumpliéndose que estos tres conjuntos forman una partición del espacio, de modo que son disjuntos dos a dos y la unión de los tres es el mismo espacio. ^[3]

Propiedades[editar]

Cualquier segmento que contiene el centro de la esfera y sus extremos están en la superficie esférica, es un diámetro.^[4]
Cualquier sección plana de una esfera es un círculo.
Cualquier sección que pasa por el centro de una esfera es un círculo mayor, y si la sección no pasa por el centro es un círculo menor.
Si se da un círculo de una esfera, los extremos del diámetro perpendicular a aquel se llaman polos de dicho círculo. ^[5]

Volumen[editar]

Datos para hallar el área y volumen de la esfera respecto del cilindro circunscrito.

El volumen, $V,$ , de una esfera se expresa en función de su radio $r,$ como:

V = frac{4 pi r^3}{3}

Se puede considerar el volumen de una esfera como 2/3 del volumen del cilindro circunscrito a la esfera. Su base es un círculo del mismo diámetro que la esfera. Su altura tiene la misma medida que dicho diámetro:

V = frac{2}{3} (pi r^2 cdot 2r)

Esta relación de volúmenes se adjudica a Arquímedes.

Es posible calcular el volumen de una esfera con un margen de error aproximado al 0.03% sin utilizar el valor de π:

V = frac{67}{16} r^3

Área[editar]

El área es 4 veces $pi ,$ por su radio al cuadrado.

A = 4pi r^2

Demostración
Arquímedes demostró que el área de la esfera es dos tercios respecto al del cilindro, usando esta definición: $A = frac{2}{3} (2r cdot 2pi r + 2 cdot pi r^2)$ $A = frac{2}{3} (4pi r^2 + 2pi r^2)$ $A = frac{2}{3} (6pi r^2)$ $A = 4pi r^2$

Demostración
El área de la esfera es también igual a la derivada de su volumen con respecto a $r,$ . $V = frac{4}{3}pi r^3 = int_{0}^{r}A(r) dr$ $frac{dV}{dr}= A(r) = 4pi r^2$

Ecuaciones de la esfera[editar]

Ecuación cartesiana[editar]

En un sistema de coordenadas cartesianas en un espacio euclidiano tridimensional, la ecuación de la esfera unitaria (de radio 1), con centro en el origen, es:

$x^2 + y^2 + z^2 = 1,$

Esta ecuación se obtiene considerando que en el punto M (x, y, z) de la esfera, el vector normal OM es igual a 1.

Generalizando, la esfera de radio r, de centro Ω (a, b, c) tiene como ecuación:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2,$

La ecuación del plano tangente en el punto M (x', y', z') se obtiene mediante el desdoblamiento de las variables: en el caso de la esfera unitaria:

$x cdot x' + y cdot y' + z cdot z' = 0,$

y en el segundo ejemplo:

$(x - a) cdot x' + (y - b) cdot y' + (z - c) cdot z' = 0,$

Ecuación paramétrica[editar]

En un espacio euclidiano tridimensional, los puntos de la superficie esférica pueden ser parametrizados de la siguiente manera:

, x = x_0 + r cos heta ; sin varphi

, y = y_0 + r sin heta ; sin varphi qquad (0 leq heta leq 2pi mbox{ , } 0 leq varphi leq pi ) ,

, z = z_0 + r cos varphi ,

donde r es el radio, (x0, y0, z0) son las coordenadas del centro y (θ, φ) son los parámetros angulares de la ecuación.

Secciones[editar]

Un círculo máximo divide la esfera en dos hemisferios iguales.

Sección de una esfera por un plano.

La intersección de un plano y una esfera siempre es una circunferencia. La esfera es el único cuerpo que tiene esta propiedad. Lógicamente, si el plano es tangente, el área de contacto queda reducido a un punto (puede considerarse el caso límite de la intersección).

Si el plano pasa por el centro de la esfera, el radio del círculo es el mismo que el de la esfera, r. En este caso, la circunferencia puede llamarse ecuador o círculo máximo.

Si la distancia d, entre el plano y el centro, es inferior al radio r de la esfera, aplicando el teorema de Pitágoras, el radio de la sección es:

r' = sqrt{r^2 - d^2}

Intersección de esferas.

Por otra parte, dos esferas se intersecan si:

d le r + r'

r - r' le d

(son las desigualdades triangulares, y equivalen a que ningún lado es superior a la suma de los otros dos), es decir, si existe un triángulo con lados que midan r, r' y d, donde d es la distancia entre los centros de las esferas, r y r' sus radios.

En tal caso, la intersección es también una circunferencia. Cuando una de las desigualdades anteriores es una igualdad, la intersección será un punto, que equivale a una circunferencia de radio cero.

En general, el radio es:

frac 2 d sqrt{m(m-r)(m-r')(m-d)} quad mbox{ con } quad m = frac {r+r'+d} 2

el medio perímetro.

Planos en el un punto de superficie esférica[editar]

Plano tangente[editar]

El plano que toca a la esfera en un solo punto es llamado plano tangente. Cada punto de la esfera tiene asociado un plano tangente. Para la esfera los puntos antipodales tiene planos tangente paralelos.

Es el plano cuya distancia al centro de la esfera es igual a la longitud del radio. O bien la posición límite de los planos secantes de la esfera cuando su distancia al centro tiende a la longitud del radio. Dicho plano es único y siempre existe, dado un punto $P=(x_0,y_0,z_0)$ de una esfera de radio de radio R el plano tangente viene dado por: