Los Sulbasutras
Como ya mencionamos al tratar la literatura védica, los Sulbasutras o aforismos de cuerdas (cordel
de medir) son apéndices de las principales obras védicas, destinadas a la
construcción y medida de los altares para los sacrificios rituales.
Diversos datos parecen indicar que su redacción puede situarse entre el siglo VIII a.C., cuando el
sánscrito empieza a tomar la forma que aparece en estos textos, y el siglo V
a.C. en que el sabio Panini codifica y establece las reglas gramaticales del
sánscrito clásico.
En la religión védica cada hogar debe tener tres tipos de fuegos de sacrificio (agnis). El altar
apropiado para ellos son cuadrados, circulares o semicirculares. Sin
embargo, los más elaborados ya corresponden a rituales complejos que deben
ser llevados a cabo por los brahmanes. Vienen referenciados en los
Vedas samhitas como el Rigveda, de manera que su elaboración es antigua y
probablemente los Sulbasutras son versiones actualizadas de conocimientos de
varios siglos atrás.
Los altares (vedi) más complejos tenían usualmente forma de halcón, sea con sólo la cola o también
patas, aunque cabía hacerlos también en forma de garza, una simple variación
del primer altar. La razón viene expresada en uno de sus libros sagrados:
Aquél que desea el cielo puede construir el altar en forma de halcón, puesto que el halcón es el
mejor volador entre las aves; así el sacrificante, habiéndose convertido
él mismo en halcón, vuela hacia el mundo celestial.
Pues bien, este altar sagrado se construía con siete cuadrados y medio. Cuatro de ellos formaban
el cuerpo del halcón. Luego tres más se usaban para las dos alas y la cola.
Finalmente, cada ala se alargaba con un quinto de cuadrado y la cola con un
décimo del mismo cuadrado, totalizándose así los siete cuadrados y medio.
Cada uno de estos cuadrados tenía por lado una purusa, unidad de medida
equivalente aproximadamente a 2,34 metros y que correspondían a la altura de
un hombre con los brazos levantados.
Hay varios Sulbasutras: el más antiguo resulta ser el de Baudhayana y luego es difícil situar a los
restantes, el de Apastamaba y el de Katyayana son los más importantes,
habiendo otros de menor importancia como el de Manava. El primero, por
ejemplo, consta de tres partes consistentes en 113, 83 y 323 aforismos (sutras),
de los cuales los 62 primeros son los más importantes desde el punto de
vista matemático por consistir en:
1-21: Trata de las unidades de medida a emplear en el resto del texto.
22-49: Se aborda la construcción de cuadrados y rectángulos, incluyendo la formación de un
cuadrado sobre la diagonal de un rectángulo.
50-60: Examina los métodos para transformar unas figuras en otras conservando su
superficie. En concreto, el aforismo 58 presenta la transformación de un
círculo en un cuadrado mientras que el 59 y 60 hacen la operación
contraria transformando un cuadrado en círculo de igual área.
61-62: Como fruto de lo anterior, se encarga de determinar un valor aproximado para la raíz
cuadrada de 2.
Todas estas operaciones eran necesarias por varios motivos:
1) Los altares más importantes debían tener la misma superficie de siete purusas y media
cuadradas que caracterizaban el del halcón. Dado que había altares
cuadrados debía saber construirse, en primer lugar, un cuadrado de tal
superficie, y después otros altares rectangulares, triangulares,
trapezoidales o circulares, con la misma superficie. El procedimiento
más directo consistía en transformar un cuadrado en otro tipo de figuras
permaneciendo constante el área.
2) Las reglas
brahmánicas establecían que el primer altar construido en un hogar
tuviera la superficie antedicha pero si se construía uno más debía
tener una purusa cuadrada más, el siguiente una más y así sucesivamente.
Ello obligaba, a partir del altar cuadrado inicial, a construir un altar
cuadrado (figura básica inicial, transformable en otra posteriormente) a
partir de la suma de dos cuadrados desiguales.
3) Había sacrificios que exigían un altar cuadrado, como ya se ha comentado, pero otros de
distinto tipo precisaban un cuadrado que fuera la tercera parte y aún la
novena parte del inicial, lo que conducía al cálculo de cuadrados
equivalentes a la tercera parte de uno dado.
4) Dentro de las transformaciones de un altar cuadrado en otro de distinta forma, era
especialmente relevante la construcción de un altar circular por cuanto
se planteaba el problema de la cuadratura del círculo o la circularidad
del cuadrado, dando paso a cálculos sobre el valor más aproximado de la
raíz cuadrada de dos.
A estos problemas
geométricos en los que los brahmanes alcanzaron una gran habilidad y
conocimiento, habría que añadir otros problemas prácticos también
relacionados con las matemáticas. En efecto, los altares usuales tenían que
construirse con cinco capas de ladrillos que llegaban a un hombre a la
altura de la rodilla pero otros más elaborados debían llevarse a cabo con
diez y hasta quince capas de ladrillos. Cada capa debía tener doscientos
ladrillos hasta totalizar en el más usual el número de mil. Sin embargo,
para que encajaran adecuadamente, estos doscientos ladrillos de cada capa
debían colocarse de forma no coincidente, lo que obligaba a plantear las
distintas formas de intercalarlos para mantener el número requerido y dar
estabilidad, al tiempo, al altar.
Construcción del cuadrado
y el trapecio
En primer lugar, el altar
debía estar orientado en referencia a los cuatro puntos cardinales, de
manera que la primera tarea de los tendedores de cuerdas era señalarlos, tal
como indica Katyayana. Para ello se colocaba una barra vertical (el gnomon)
y se trazaba una circunferencia pasando por el lugar de su colocación y que
tuviera la altura de dicho gnomon por diámetro. Sea en el amanecer o en el
atardecer, la sombra del gnomon caería sobre otro punto de la circunferencia
que permitiría tender la cuerda en la dirección este-oeste, E-O.
A continuación era necesario trazar el eje norte-sur lo que planteaba el problema de construir la
perpendicular a la recta antes dibujada. Ello se hacía de un modo similar al
actual: Atando cuerdas a los gnomones E-O se tendía una cuerda de longitud
doble que la distancia entre el gnomon E y el O. Se marcaba con otro gnomon
el punto medio de esta cuerda lo que se alaría en un sentido el norte y en
el otro el sur.
Con esta construcción se garantizaba el dibujo de perpendiculares. Sin embargo, había otro método
para su dibujo consistente en reunir tripletas pitagóricas. Así, se tomaba
una cuerda dividida en dos partes: Una, por ejemplo, tenía 39 prakramas
(unidad de longitud) y la otra 15.
Se doblaba la cuerda hasta que la distancia entre sus extremos fuera de 36 en cuyo caso se habría
construido un triángulo rectángulo de catetos 15 y 36 y de hipotenusa 39.
Apastamba da otros valores, el más elemental (3, 4, 5) y algunos múltiplos,
así como otras tripletas (12, 5, 13) con sus múltiplos, (15, 8, 17) ó (12,
35, 37).
Había varios métodos para el trazado de un cuadrado. Conociendo los ejes E-O, N-S y tomando las mismas
distancias desde su punto de corte hacia las cuatro direcciones sobre dichos
ejes , bastaba trazar perpendiculares por los extremos de estos ejes hasta
que sus puntos de corte dieran los vértices del cuadrado buscado. Otros
procedimientos, sin embargo, son más originales.
El primero tomaba un bambú
recto de longitud la del lado del cuadrado deseado y con agujeros en los
extremos y en su punto medio. Sujetándolo por un extremo A se hacía girar el
otro libremente trazando sobre arena su trayectoria. Esta acción se repetía
sujetándolo por el otro extremo B hasta que el punto de corte P de ambas
trayectorias permitía construir la perpendicular de un modo semejante al
visto antes. Sujetando un extremo del bambú en el punto medio O y haciéndolo
pasar por el punto P se conseguía el punto Q. Colocando el punto medio del
bambú en Q se colocaba este bambú de manera que sus dos extremos estuvieran
sobre las trayectorias dibujadas en la arena permitiendo así conseguir los
vértices C y D.
Baudhayana, sin embargo,
ofrece otro método basado en el dibujo e intersección de circunferencias.
Consiste en considerar una cuerda tan larga como el lado del cuadrado
deseado fijando el punto medio, a partir del cual y tomándolo como centro se
dibuja una circunferencia que tenga por diámetro el lado del cuadrado. Se
trazan dos diámetros perpendiculares de esta circunferencia respetando,
naturalmente, las direcciones consabidas E-O y N-S. Por los puntos donde
estos diámetros corten a la circunferencia (cuatro en total) se dibujan
sendas circunferencias iguales a la anterior. Los puntos de intersección de
estas cuatro circunferencias marcan la posición de los cuatro vértices del
cuadrado.
Es evidente que estos
métodos sirven de base para la construcción tanto de rectángulos como de
trapecios. En concreto, el vedi o altar prescrito para tomar en él la bebida
embriagante y sagrada del soma tenía que tener la forma de un trapecio
isósceles (mahavedi) donde la base más corta debía tener 24 padas (pies), la
más larga 30 y la altura del altar o distancia perpendicular entre ambas
bases había de contar 36 padas.
La construcción dada por Baudhayana es la siguiente:
1) Se marca con la cuerda la longitud de 36 padas (XY) en dirección este-oeste.
2) Desde el extremo este de la cuerda (X) se se ala una distancia de 5 padas (punto P) y desde el
extremo oeste (Y) una distancia de 8 padas (punto R).
3) A continuación se utiliza el triángulo rectángulo (5, 12, 13) donde 5 es la distancia
entre XP, de manera que 12 será el cateto restante de dicho triángulo y
da el punto A. Si se realiza la misma construcción en el otro sentido se
obtiene el punto D de manera que la distancia AD es de 24 padas, tal
como se deseaba.
4) Del mismo modo, a partir de R y sobre la base contraria se considera el triángulo
rectángulo (8, 15, 17) de manera que, como la distancia YR era de 8
padas, el otro cateto de 15 permitirá obtener B y, sobre el sentido
contrario, C. Así, la distancia entre los puntos B y C será de 30 padas,
como se deseaba.
Parece pues que los indios ya eran perfectos conocedores de las relaciones pitagóricas y ello varios
siglos antes de que Pitágoras le diera una completa demostración en sus
Elementos. Veamos hasta qué punto es así.
El cuadrado doble y Pitágoras
Dentro de la construcción de
altares existen distintas ocasiones en que es necesario dibujar un cuadrado
de área doble que la de uno dado. La más elemental consiste en transformar
un altar cuadrado en otro en forma de triángulo isósceles del mismo área. La
forma más sencilla para hacer esto es que, a partir del cuadrado inicial, se
construya otro de tamaño doble. A continuación se toma el lado de este nuevo
cuadrado como base y altura del triángulo isósceles. Sin más que comparar la
superficie de los cuatro triángulos resultantes se comprueba el resultado
deseado.
Por este motivo, entre otros, los brahmanes indios precisaban construir cuadrados de área doble que
uno dado. La forma más fácil de conseguir este objetivo era darse cuenta de
que la diagonal del cuadrado original es el lado del cuadrado deseado. La
forma en que llegaron a tal solución puede obedecer a una intuición
meramente geométrica al considerar una figura como la siguiente.
Dice Katyayana:
En la construcción del altar
Pakriti haced un cuadrado de área dos purusas cuadradas y tenga los clavos
(vértices del altar) en los puntos medios de los lados. Ésta es la
construcción.
Se puede observar que el cuadrado original consta de dos triángulos de media purusa cuadrada cada
uno, mientras que el cuadrado construido sobre la diagonal del primero
consta de cuatro de estos triángulos. Naturalmente éste es un caso
particular de la relación más general denominada de Pitágoras pero
probablemente a los brahmanes védicos les bastaba para tener el
procedimiento deseado.
Baudhayana afirma que
La cuerda que se estira en el sentido de la diagonal de un cuadrado produce un área de tama o
doble del cuadrado original.
El conocimiento de esta
relación presente en el triángulo rectángulo era amplio y bastante general
por cuanto las relaciones pitagóricas eran utilizadas habitualmente en la
construcción de ángulos rectos, tal como hemos visto anteriormente en el
altar trapezoidal. Apastamba, por ejemplo, maneja triadas como (3, 4, 5), la
más elemental, pero también otras que no se deducen de la anterior, como
(15, 36, 39), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (72, 96, 120), etc.
Posteriormente, al construir
un altar cuadrado que tenga por área la diferencia de dos cuadrados
desiguales, podrá encontrarse una construcción geométrica que, no sólo
utiliza de forma general la relación entre los lados de un triángulo
rectángulo, sino que es la misma disposición que permite una demostración ya
conocida en el mundo chino. En efecto, el cuadrado grande de la izquierda se
compone del peque o interior más cuatro triángulos. El cuadrado de la
derecha, igual que el original, se compone de los mismos cuatro triángulos y
dos cuadrados construidos sobre los catetos de uno cualquiera de esos
triángulos. Si eliminamos los cuatro triángulos iguales en cada uno de los
grandes se obtiene la evidencia visual de que el cuadrado construido sobre
la hipotenusa es igual a la suma de los construidos sobre los catetos.
Pues bien, la construcción de un cuadrado de área doble a partir de la diagonal del cuadrado original
supone conocer, desde el punto de vista numérico, que esta diagonal se
obtiene multiplicando 2 por el lado del cuadrado. En líneas generales, el
cuadrado de lado unidad tiene por diagonal precisamente 2 de forma que el
área del cuadrado construido sobre ella es 2.
Lo cierto es que la matemática védica supo calcular una aproximación muy exacta de este valor,
tal como muestran Apastamba y Katyayana:
√2 = 1 + 1/3 + 1/3.4 - 1/3.4.34
En otras palabras, en términos decimales tomaban la aproximación 1,41421568... siendo la actual
1,41421356...
La cuestión problemática que se presenta al estudioso actual es averiguar cómo pudieron llegar a ese
valor tan ajustado. Los Sulvasutras, conjuntos de aforismos de cómo proceder
para realizar los cálculos oportunos son una obra eminentemente práctica que
no se detiene en demostración alguna. De manera que sólo cabe hacer
reconstrucciones lo más verosímiles posible del modo en que llegaron a un
resultado semejante.
La primera sería de naturaleza algebraica:
1. Se considera un altar cuadrado de lado 12. Su área será 12 2 = 144
2. Ahora se plantea el problema de construir un altar cuadrado cuya área sea el doble que la
anterior, es decir, 2 . 122 = 288
3. La mejor aproximación
parece ser la del cuadrado de lado 17, ya que 17 2 = 289
4. Esto supone que 2 x 122 172 luego 2 17/12 que expresado a través de fracciones unitarias
daría:
√2 = 17/12 = 1 + 1/3 + 1/3.4
5. La consideración de esa unidad de diferencia entre 288 y 289 precisaría considerar la sustracción de
una fracción que sería la dada en la fórmula anterior.
Sin embargo, es posible una aproximación de naturaleza geométrica que quizá estuviera más a su alcance y
ser más intuitiva para justificar la fracción que se resta:
Se toman dos cuadrados
iguales de lado unidad. Se trata de formar un cuadrado de área doble que
cualquiera de ellos recortando el segundo y uniendo las partes recortadas
sobre el segundo hasta formar el cuadrado deseado. Evidentemente éste es un
método aproximativo que se puede algebrizar posteriormente para dar cuenta
de las acciones efectuadas.
Así, el segundo se divide en tres rectángulos iguales dos de los cuales se colocan sobre el primer
cuadrado según la figura. A continuación el tercer rectángulo se divide a su
vez en tres partes iguales, una de cuyas partes, el cuadrado, se coloca en
la esquina del primero. Los otros dos cuadrados se dividen cada uno en
cuatro rectángulos iguales que pueden colocarse en torno a la figura antes
dibujada. Así, todo el segundo cuadrado queda repartido alrededor del
primero a salvo de un peque o cuadradito de la esquina que es necesario a
adir para completar el cuadrado buscado de área doble. De esta manera, el
lado de este último cuadrado mayor tendrá de lado
√2 = 1 + 1/3 + 1/3.4
a lo que habría que quitar una pequeña cantidad para compensar el cuadradito pequeño que se ha tenido
que añadir. Éste tendrá de área (1 / 3.4 ) 2 , superficie que
habría que restar del cuadrado hasta ese momento formado. Pero la resta
habría de ser de una pequeña franja rectangular tanto en la parte superior
como a la izquierda, por ejemplo, de dimensiones 1 + 1/3 + 1/3.4 de largo y
una cantidad desconocida x de espesor. ¿Cuánto vale x?.
Habrá de cumplirse: 2 x (1 + 1/3 + 1/3.4) - x 2 = (1/3.4) 2
Despreciando el valor de x2 por ser muy pequeño y despejando el valor de x se llega a que: x
= 1/3.4.34
que justificaría la deducción mostrada por las fórmulas védicas.
Suma y resta de cuadrados
La construcción de un
cuadrado doble que uno dado ya supone resolver el problema de hallar el
cuadrado que tenga por área la suma de dos cuadrados iguales. Pero el
problema puede generalizarse a la suma de tres y más cuadrados, siempre que
sean iguales.
Baudhayana afirma que
Un rectángulo de anchura igual a la del cuadrado e igual a la unidad y una longitud que sea su
diagonal tiene una diagonal que da un cuadrado tres veces más grande.
Tema anterior
Primer 
Este hecho general permite
Así, para sumar dos
Una construcción semejante
Consiste en considerar el
Más exacto como método pero
Apastamba, que había
Baudhayana lo hace
Los Sulbasutras ofrecen dos
Consiste en marcar sobre uno
La forma de construir un
En el cuadrado ABCD sea
Atendiendo en primer lugar a
