Iniziò ad esibirsi sui palcoscenici del varietà, venendo scoperto da Anna Magnani, che lo notò tra i ballerini della sua compagnia e lo fece recitare con la compagnia di Nino Taranto come attore di rivista. Nel 1947 esosrdisce nella Prosa con Lo scambio di Paul Claudel. Nel 1948 è Amiens - uno dei personaggi al seguito del duca - in Rosalinda, con la Compagnia Italiana di Prosa diretta da Luchino Visconti, debuttando al Teatro Eliseo di Roma. Durante la Seconda guerra mondiale si arruolò nella sezione paracadutisti della Divisione Folgore e combatté al seguito dell'Ottava Armata Alleata sul fronte di Cassino, rendendosi popolare nell'esercito per aver creato e diretto una compagnia teatrale composta da militari. Alla fine del conflitto iniziò a frequentare l'Accademia Nazionale d'Arte Drammatica, entrando poi, con Caccia tragica di Giuseppe De Santis (1947), nell'ambiente cinematografico, idoneo a mettere in luce la sua notevole presenza scenica e le sue ottime qualità drammatiche, adatte sia a ruoli da comprimario che da protagonista. Nel 1950 Randi raggiunse una notevole popolarità interpretando, con vigore ed ottima aderenza fisica, il ruolo del protagonista del film  I fuorilegge, che affrontava il problema del banditismo siciliano. Con il film successivo, Enrico Caruso, leggenda di una voce (1951), di cui fu protagonista assieme a Gina Lollobrigida, divenne un vero divo. Grazie a questo successo, nel mese di ottobre dello stesso anno, ebbe un nuovo ruolo, nel patriottico Trieste mia! - O Trieste del mio cuore! ma la ripresa finale del film non venne bene ed il regista la fece ripetere un'infinità di volte sul set costruito a Fiumicino, arrivando fino all'alba del 1º novembre. Così Randi rientrò stanco ed assonnato alle tre del mattino nel suo appartamento di Roma, dove lo attendeva il suo compagno e convivente Giuseppe Maggiore, il quale, non volendo credere che il ritardo dell'amante fosse dovuto solo a cause di lavoro, gli sparò ben sei colpi di rivoltella, di cui solo tre lo colpirono e lo uccisero.