Nativo di Zanesville, trascorse gran parte della sua infanzia in un orfanotrofio dopo la morte della madre, e quando suo padre, Harry Basehart, non fu capace di badare ai suoi quattro figli. Intenzionato inizialmente a seguire le orme del padre nel giornalismo, il tredicenne Richard iniziò a recitare in piccoli ruoli all'interno della compagnia teatrale cittadina. Dopo aver terminato le scuole superiori si unì ad una compagnia di teatro nel 1932, senza lasciare il lavoro di reporter . A metà degli anni trenta si unì alla compagnia di Jasper Deeter  recitando per cinque anni in diversi classici del teatro. Alla fine degli anni trenta si spostò a New York in cerca di fortuna nei teatri di Broadway. Nel 1939 conobbe l'attrice Stephanie Klein che sposò agli inizi del 1940. Continuò a cercare una svolta nella sua carriera teatrale e nel 1942 si unì alla compagnia teatrale di Margaret Webster, tuttavia la sua carriera cambiò rotta solo nel 1945 nella commedia The Hasty Heart quando gli venne affidato il ruolo principale del soldato scozzese, interpretazione per la quale vinse il New York Drama Critics Award nel 1945. Fu da quel momento che la carriera di Basehart intraprese anche la via del cinema con il suo primo contratto con il mondo di Hollywood. La sua prima pellicola fu Dimmi addio del 1947, a cui seguì il film drammatico Il grido del lupo  del 1947 . Il merito di Basehart in questo periodo della sua carriera cinematografica fu quello di scegliere con molta attenzione i suoi ruoli, affinché non venisse riconosciuto con un unico stereotipo di personaggio a cui potesse essere in seguito costretto a legarsi. La prima interpretazione a dargli una certa notorietà fu nella pellicola poliziesca Egli camminava nella notte del 1948, nella quale Basehart interpreta magistralmente il ruolo di un tecnico elettronico dedito al furto. Nei successivi due anni Basehart interpretò diversi ruoli importanti, il più noto dei quali è il dramma storico Il regno del terrore del 1949, nel quale l'attore interpreta magistralmente il ruolo di Maximilien Robespierre, responsabile del bagno di sangue che seguì la Rivoluzione Francese. Nel 1950 Basehart venne chiamato ad interpretare uno dei ruoli più difficili ed impegnativi della sua carriera nella celebre pellicola drammatica  La 14ª ora. Fu durante le riprese di questa pellicola che sua moglie Stephanie, fu colta da un malore che si rivelò essere un tumore cerebrale del quale morì poco tempo dopo. Dopo aver terminato le riprese del film Basehart lasciò gli Stati Uniti e si trasferì in Italia, dove conobbe l'attrice Valentina Cortese che sposò nel 1951. Tra i principali lavori a cui ha preso parte ricordiamo i film degli anni cinquanta La strada (1954) e Il bidone (1955), l'epico Moby Dick (1956), il dramma militare Il fronte del silenzio (1957) per cui ricevette una nomination ai BAFTA Awards. In seguito prese parte alla serie televisiva Voyage to the Bottom of the Sea (1964-1968), l'episodio pilota della serie televisiva Supercar (1982), in cui interpretò Wilton Knight. Vittima di una malattia di cuore, è morto al Medical Center di Los Angeles il 17 settembre 1984 a 70anni.