Nel 1924, all'età di dodici anni, entra nel seminario di Marola, venendo trasferito successivamente in quello di Albinea, dove rimane sette anni (1929-1936). Il 12 luglio 1936, nella cattedrale di Reggio Emilia, gli viene conferita l'ordinazione sacerdotale. Fino al 1939, fu curato della parrocchia di San Terenziano, nel suo paese natale di Cavriago, quando, all'inizio della Seconda guerra mondiale, viene nominato cappellano dei lavoratori italiani emigrati in Slesia (Germania). Nel 1940 è mandato nella regione austriaca di Salisburgo e Linz, dove lavorano circa seimila operai italiani. A Linz, invitato dal vescovo locale, visita i prigionieri di guerra polacchi: per questo viene arrestato dalle SS, poi messo agli arresti domiciliari e quindi, successivamente, espulso. Fu tra le prime voci italiane a denunciare i campi di sterminio nazisti. Il 26 ottobre 1941 viene mandato nella parrocchia di San Pellegrino dove si dedica all'aiuto delle famiglie in difficoltà a causa della guerra. In quei mesi don Cocconcelli accoglie nella parrocchia i primi nuclei clandestini dei partigiani locali, facendone un punto di riferimento antifascista. Nel settembre 1943, ospita le prime riunioni del Comitato di Liberazione Nazionale reggiano, partecipando in prima persona, come cassiere e membro effettivo, adottando il nome di battaglia di Cassiani. Dopo un anno di attività clandestina, viene arrestato. Riesce a fuggire, rifugiandosi presso una vicina parrocchia. I fascisti fermano il parroco che lo ha aiutato e intimano a don Cocconcelli di presentarsi entro 24 ore, pena la fucilazione del sacerdote che lo ha aiutato nella fuga. Don Angelo si costituisce e gli viene imposto di rimanere in città per poter svolgere le sue funzioni pastorali. Tuttavia, una volta libero, fugge sull'Appennino emiliano e, dal 1944 al 1945, si unisce alle Fiamme Verdi. Viene allora condannato a morte dal Tribunale Speciale Fascista. Diventa membro del comando congiunto Fiamme Verdi-Brigata Garibaldi. Nell'immediato dopoguerra, nel 1949, il vescovo Beniamino Socche lo nomina presidente diocesano della Pontificia Opera di Assistenza: il suo impegno si concentra nel soccorso alla popolazione colpita dall'alluvione del Po del 1951, l'istituzione di asili per i figli delle mondariso e delle colonie estive. Negli anni cinquanta, dà impulso all'Azione Cattolica locale ed avvia la costruzione di opere parrocchiali: il cinema-teatro, le sale per il catechismo, il campo gioco per l'oratorio, l'asilo. Nel 1974 Paolo VI lo nomina suo cappellano d'onore. Nel 1981, viene eletto presidente provinciale della Fism (Federazione Italiana delle Scuole Materne), ruolo che ricoprirà per circa un decennio. Nel 1986, inaugura la casa degli anziani di San Pellegrino. Muore il 29 novembre 1999, a San Pellegrino.

Recentemente la sua figura è stata raccontata nel programma "La Storia siamo noi".
Nel settembre 2005 il comune di Reggio Emilia gli ha intitolato un tratto della tangenziale SS9.
A don Angelo Cocconcelli è stata intitolata la casa di riposo della chiesa di San Pellegrino.
In memoria di Don Angelo, ogni anno la società calcistica U.S. San Pellegrino Everton organizza sul campo parrocchiale di San Pellegrino un torneo calcistico cui partecipano varie società del comune di Reggio Emilia.
In occasione del centenario della nascita che ricorrerà il 27 novembre 2012 la comunità di San Pellegrino su iniziativa del parroco don Giuseppe Dossetti  si è preposta di pubblicare un libro che riunirà la storia, i documenti e le foto rintracciabili di don Angelo.