Generation of Sinusoidal Waveforms

In our tutorials about Electromagnetism, we saw how an electric current flowing through a conductor can be used to generate a magnetic field around itself, and also if a single wire conductor is moved or rotated within a stationary magnetic field, an “EMF”, (Electro-Motive Force) will be induced within the conductor due to this movement.

From this tutorial we learnt that a relationship exists between Electricity and Magnetism giving us, as Michael Faraday discovered the effect of “Electromagnetic Induction” and it is this basic principal that electrical machines and generators use to generate a Sinusoidal Waveform for our mains supply.

In the Electromagnetic Induction, tutorial we said that when a single wire conductor moves through a permanent magnetic field thereby cutting its lines of flux, an EMF is induced in it.

However, if the conductor moves in parallel with the magnetic field in the case of points A and B, no lines of flux are cut and no EMF is induced into the conductor, but if the conductor moves at right angles to the magnetic field as in the case of points C and D, the maximum amount of magnetic flux is cut producing the maximum amount of induced EMF.

Also, as the conductor cuts the magnetic field at different angles between points A and C, 0 and 90^o the amount of induced EMF will lie somewhere between this zero and maximum value. Then the amount of emf induced within a conductor depends on the angle between the conductor and the magnetic flux as well as the strength of the magnetic field.

An AC generator uses the principal of Faraday’s electromagnetic induction to convert a mechanical energy such as rotation, into electrical energy, a Sinusoidal Waveform. A simple generator consists of a pair of permanent magnets producing a fixed magnetic field between a north and a south pole. Inside this magnetic field is a single rectangular loop of wire that can be rotated around a fixed axis allowing it to cut the magnetic flux at various angles as shown below.

Basic Single Coil AC Generator

As the coil rotates anticlockwise around the central axis which is perpendicular to the magnetic field, the wire loop cuts the lines of magnetic force set up between the north and south poles at different angles as the loop rotates. The amount of induced EMF in the loop at any instant of time is proportional to the angle of rotation of the wire loop.

As this wire loop rotates, electrons in the wire flow in one direction around the loop. Now when the wire loop has rotated past the 180^o point and moves across the magnetic lines of force in the opposite direction, the electrons in the wire loop change and flow in the opposite direction. Then the direction of the electron movement determines the polarity of the induced voltage.

So we can see that when the loop or coil physically rotates one complete revolution, or 360^o, one full sinusoidal waveform is produced with one cycle of the waveform being produced for each revolution of the coil. As the coil rotates within the magnetic field, the electrical connections are made to the coil by means of carbon brushes and slip-rings which are used to transfer the electrical current induced in the coil.

The amount of EMF induced into a coil cutting the magnetic lines of force is determined by the following three factors.

• • Speed – the speed at which the coil rotates inside the magnetic field.
• • Strength – the strength of the magnetic field.
• • Length – the length of the coil or conductor passing through the magnetic field.

We know that the frequency of a supply is the number of times a cycle appears in one second and that frequency is measured in Hertz. As one cycle of induced emf is produced each full revolution of the coil through a magnetic field comprising of a north and south pole as shown above, if the coil rotates at a constant speed a constant number of cycles will be produced per second giving a constant frequency. So by increasing the speed of rotation of the coil the frequency will also be increased. Therefore, frequency is proportional to the speed of rotation, ( ƒ ∝ Ν ) where Ν = r.p.m.

Also, our simple single coil generator above only has two poles, one north and one south pole, giving just one pair of poles. If we add more magnetic poles to the generator above so that it now has four poles in total, two north and two south, then for each revolution of the coil two cycles will be produced for the same rotational speed. Therefore, frequency is proportional to the number of pairs of magnetic poles, ( ƒ ∝ P ) of the generator where P = is the number of “pairs of poles”.

Then from these two facts we can say that the frequency output from an AC generator is:

Where: Ν is the speed of rotation in r.p.m. P is the number of “pairs of poles” and 60 converts it into seconds.

Instantaneous Voltage

The EMF induced in the coil at any instant of time depends upon the rate or speed at which the coil cuts the lines of magnetic flux between the poles and this is dependant upon the angle of rotation, Theta ( θ ) of the generating device. Because an AC waveform is constantly changing its value or amplitude, the waveform at any instant in time will have a different value from its next instant in time.

For example, the value at 1ms will be different to the value at 1.2ms and so on. These values are known generally as the Instantaneous Values, or V_i Then the instantaneous value of the waveform and also its direction will vary according to the position of the coil within the magnetic field as shown below.

Displacement of a Coil within a Magnetic Field

The instantaneous values of a sinusoidal waveform is given as the “Instantaneous value = Maximum value x sin θ ” and this is generalized by the formula.

Where, V_max is the maximum voltage induced in the coil and θ = ωt, is the angle of coil rotation.

If we know the maximum or peak value of the waveform, by using the formula above the instantaneous values at various points along the waveform can be calculated. By plotting these values out onto graph paper, a sinusoidal waveform shape can be constructed.

In order to keep things simple we will plot the instantaneous values for the sinusoidal waveform at every 45^o of rotation giving us 8 points to plot. Again, to keep it simple we will assume a maximum voltage, V_MAX value of 100V. Plotting the instantaneous values at shorter intervals, for example at every 30^o (12 points) or 10^o (36 points) for example would result in a more accurate sinusoidal waveform construction.

Sinusoidal Waveform Construction

The points on the sinusoidal waveform are obtained by projecting across from the various positions of rotation between 0^o and 360^o to the ordinate of the waveform that corresponds to the angle, θ and when the wire loop or coil rotates one complete revolution, or 360^o, one full waveform is produced.

Electrical Circuit Theory and Technology

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From the plot of the sinusoidal waveform we can see that when θ is equal to 0^o, 180^o or 360^o, the generated EMF is zero as the coil cuts the minimum amount of lines of flux. But when θ is equal to 90^o and 270^o the generated EMF is at its maximum value as the maximum amount of flux is cut.

Therefore a sinusoidal waveform has a positive peak at 90^o and a negative peak at 270^o. Positions B, D, F and H generate a value of EMF corresponding to the formula e = Vmax.sinθ.

Then the waveform shape produced by our simple single loop generator is commonly referred to as a Sine Wave as it is said to be sinusoidal in its shape. This type of waveform is called a sine wave because it is based on the trigonometric sine function used in mathematics, ( x(t) = Amax.sinθ ).

When dealing with sine waves in the time domain and especially current related sine waves the unit of measurement used along the horizontal axis of the waveform can be either time, degrees or radians. In electrical engineering it is more common to use the Radian as the angular measurement of the angle along the horizontal axis rather than degrees. For example, ω = 100 rad/s, or 500 rad/s.

Radians

The Radian, (rad) is defined mathematically as a quadrant of a circle where the distance subtended on the circumference equals the radius (r) of the circle. Since the circumference of a circle is equal to 2π x radius, there must be 2π radians around a 360^o circle, so 1 radian = 360^o/2π = 57.3^o. In electrical engineering the use of radians is very common so it is important to remember the following formula.

Definition of a Radian

Using radians as the unit of measurement for a sinusoidal waveform would give 2π radians for one full cycle of 360^o. Then half a sinusoidal waveform must be equal to 1π radians or just π (pi). Then knowing that pi, π is equal to 3.142 or 22÷7, the relationship between degrees and radians for a sinusoidal waveform is given as.

Relationship between Degrees and Radians

Applying these two equations to various points along the waveform gives us.

The conversion between degrees and radians for the more common equivalents used in sinusoidal analysis are given in the following table.

Relationship between Degrees and Radians

The velocity at which the generator rotates around its central axis determines the frequency of the sinusoidal waveform. As the frequency of the waveform is given as ƒ Hz or cycles per second, the waveform has angular frequency, ω, (Greek letter omega), in radians per second. Then the angular velocity of a sinusoidal waveform is given as.

Angular Velocity of a Sinusoidal Waveform

and in the United Kingdom, the angular velocity or frequency of the mains supply is given as:

in the USA as their mains supply frequency is 60Hz it is therefore: 377 rad/s

So we now know that the velocity at which the generator rotates around its central axis determines the frequency of the sinusoidal waveform and which can also be called its angular velocity, ω. But we should by now also know that the time required to complete one revolution is equal to the periodic time, (T) of the sinusoidal waveform.

As frequency is inversely proportional to its time period, ƒ = 1/T we can therefore substitute the frequency quantity in the above equation for the equivalent periodic time quantity and substituting gives us.

The above equation states that for a smaller periodic time of the sinusoidal waveform, the greater must be the angular velocity of the waveform. Likewise in the equation above for the frequency quantity, the higher the frequency the higher the angular velocity.

Sinusoidal Waveform Example No1

A sinusoidal waveform is defined as: V_m = 169.8 sin(377t) volts. Calculate the RMS voltage of the waveform, its frequency and the instantaneous value of the voltage after a time of 6ms.

We know from above that the general expression given for a sinusoidal waveform is:

Then comparing this to our given expression for a sinusoidal waveform above of V_m = 169.8 sin(377t) will give us the peak voltage value of 169.8 volts for the waveform.

The waveforms RMS voltage is calculated as:

The angular velocity (ω) is given as 377 rad/s. Then 2πƒ = 377. So the frequency of the waveform is calculated as:

The instantaneous voltage V_i value after a time of 6mS is given as:

Note that the phase angle at time t = 6mS is given in radians. We could quite easily convert this to degrees if we wanted to and use this value instead to calculate the instantaneous voltage value. The angle in degrees will therefore be given as:

Sinusoidal Waveform

Then the generalised format used for analysing and calculating the various values of a Sinusoidal Waveform is as follows:

A Sinusoidal Waveform

In the next tutorial about Phase Difference we will look at the relationship between two sinusoidal waveforms that are of the same frequency but pass through the horizontal zero axis at different time intervals.

Péndulo simple

De Wikipedia, la enciclopedia libre

 

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El péndulo simple (también llamado péndulo matemático o péndulo ideal) es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo o mediante un hilo inextensible y sin peso. Naturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría.

El péndulo simple o matemático se denomina así en contraposición a los péndulos reales, compuestos o físicos, únicos que pueden construirse.

 

Índice

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• 1 Ecuación del movimiento
  • 1.1 Método de Newton
  • 1.2 Método de Lagrange
• 2 Pequeñas oscilaciones
• 3 Isocronismo
• 4 Oscilaciones de mayor amplitud
• 5 Instrumento gravimétrico
• 6 Véase también
• 7 Referencias
• 8 Bibliografía
• 9 Referencias externas

 

Ecuación del movimiento[editar]

Péndulo simple. Esquema de fuerzas..

Método de Newton[editar]

Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo Θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud, , del hilo. El movimiento es periódico, pero no podemos asegurar que sea armónico.

Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la ecuación del movimiento de la partícula.

La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso (mg) y la tensión del hilo (N), siendo la fuerza motriz la componente tangencial del peso. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos:

siendo a_t, la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza recuperadora).

Al tratarse de un movimiento circular, podemos poner

siendo la aceleración angular, de modo que la ec. dif. del movimiento es:

Esta ec. dif. no corresponde a un movimiento armónico simple (m.a.s.) debido a la presencia de la función seno, de modo que podemos asegurar que el movimiento del péndulo simple no es armónico simple, en general.

Método de Lagrange[editar]

El lagrangiano del sistema es

donde es la elongación angular (ángulo que forma el hilo con la vertical) y es la longitud del hilo. Aplicando las ecuaciones de Lagrange se sigue

y obtenemos la ecuación del movimiento es

de modo que la masa no interviene en el movimiento de un péndulo.

Pequeñas oscilaciones[editar]

Péndulo simple en movimiento armónico simple con oscilaciones pequeñas.

Para pequeñas oscilaciones, la función que representa la elongación angular con el tiempo, , es casi sinusoidal; para mayores amplitudes la oscilación ya no es sinusoidal. La figura muestra un movimiento de gran amplitud (negro), junto a un movimiento de pequeña amplitud (gris).

Si consideramos tan sólo oscilaciones de pequeña amplitud, de modo que el ángulo θ sea siempre suficientemente pequeño, entonces el valor del senθ será muy próximo al valor de θ expresado en radianes (senθ ≈ θ, para θ suficientemente pequeño), como podemos apreciar en la Tabla I, y la ec. dif. del movimiento se reduce a

que es idéntica a la ec. dif. correspondiente al m.a.s., refiriéndose ahora al movimiento angular en lugar de al movimiento rectilíneo, cuya solución es:



siendo ω la frecuencia angular de las oscilaciones, a partir de la cual determinamos el período de las mismas:

Las magnitudes y son dos constantes "arbitrarias" (determinadas por las condiciones iniciales) correspondientes a la amplitud angular y a la fase inicial del movimiento. Ambas tienen dimensiones de ángulo plano.

Comparación entre el valor de un ángulo (rad) y su seno.

Θ(º)	Θ(rad)	senΘ	dif. %	Θ(º)	Θ(rad)	senΘ	dif. %
0	0,00000	0,00000	0,00	15	0,26180	0,25882	1,15
2	0,03491	0,03490	0,02	20	0,34907	0,34202	2,06
5	0,08727	0,08716	0,13	25	0,43633	0,42262	3,25
10	0,17453	0,17365	0,51	30	0,52360	0,50000	4,72

Isocronismo[editar]

Obsérvese que el periodo del péndulo simple es independiente de la masa de la partícula suspendida y, también, de la amplitud de las oscilaciones, siempre que éstas sean suficientemente pequeñas como para que la aproximación senθ ≈ θ sea aceptable. Esta última propiedad, conocida como isocronismo de las pequeñas oscilaciones, fue descubierta por Galileo (1564-1642), hacia el año 1581, en la catedral de Pisa:

"Un día en que asistía, algo distraído sin duda, a una ceremonia religiosa, fijó su mirada en una lámpara de bronce, obra maestra de Benvenuto Cellini, que, suspendida de una larga cuerda, oscilaba con lentitud ante el altar. Quizás, con los ojos fijos en aquel metrónomo improvisado, unió su voz a la de los celebrantes; la lámpara se detuvo poco a poco y, atento Galileo a sus últimos movimientos, observó que marcaba siempre el mismo compás"

J. Bertrand: Galileo y sus trabajos

Esta última circunstancia fue la que más atrajo la atención de Galileo; a pesar de que la amplitud de las oscilaciones se iba reduciendo, permanecía sensiblemente constante la duración de las mismas. Galileo repitió muchas veces el experimento y acabó por descubrir la relación existente entre dicha duración y la longitud de la cuerda que soportaba al peso oscilante. Más adelante, hacia el año 1673, Christian Huygens encontró la expresión del periodo correspondiente a las oscilaciones de pequeña amplitud, basando su demostración en las leyes de caída de los graves, según las había enunciado Galileo.

Puesto que las pequeñas oscilaciones del péndulo son isócronas, resulta útil para la medida del tiempo (vide relojes de péndulo).

Oscilaciones de mayor amplitud[editar]

La integración de la ecuación del movimiento, sin la aproximación de pequeñas oscilaciones, es considerablemente más complicada e involucra integrales elípticas de primera especie, por lo que omitimos el desarrollo que llevaría a la siguiente solución:

Dependencia del período del péndulo con la amplitud angular de las oscilaciones. Para pequeñas oscilaciones, el cociente T/T₀ tiende a la unidad 1; pero tiende a infinito para ángulos cercanos a 180º.

donde es la amplitud angular. Así pues, el periodo es función de la amplitud de las oscilaciones.

En la Figura hemos representado gráficamente la variación de T (en unidades de T₀) en función de θ, tomando un número creciente de términos en la expresión anterior. Se observará que el periodo T difiere significativamente del correspondiente a las oscilaciones de pequeña amplitud (T₀) cuando θ > 20º. Para valores de θ suficientemente pequeños, la serie converge muy rápidamente; en esas condiciones será suficiente tomar tan sólo el primer término correctivo e, incluso, sustituir sen θ/2 por θ/2, de modo que tendremos

donde θ se expresará en radianes. Esta aproximación resulta apropiada en gran parte de las situaciones que encontramos en la práctica; de hecho, la corrección que introduce el término θ²/16 representa menos de 0.2% para amplitudes inferiores a 10°.

Para oscilaciones de pequeña amplitud, las expresiones anteriores se reducen a

center.

Instrumento gravimétrico[editar]

El péndulo simple se utilizó en las primeras determinaciones precisas de la aceleración producida por la gravedad, debido a que tanto el periodo de las oscilaciones como la longitud de la cuerda pueden determinarse con facilidad. Podemos expresar g en función de T y de :

Ejemplo: Un péndulo simple se usa para medir la aceleración de la gravedad, usando T=2π√(1/g , el periodo T medido fue de (1.24±0.02) s. Y la longitud de (0.381±0.002) m. ¿Cuál es el valor resultante de g con 50% de incertidumbre absoluta y relativa?

T^2 = 4 π^2 l / g

g = 4 π^2 l / T^2

g = 4 π^2 0.381 / (1.24)^2 = 15.641 / 1.5376 = 9.7821 m/s^2

∆g = (∆l/l +2 ∆T/T) g

∆g = [(0.002/0.381) + 2 (0.02/1.24)] 9.7821 = 0.36 m/s^2

g = 9.78±0.36 m/s^2

Véase también[editar]

• Péndulo
• Péndulo balístico
• Péndulo cicloidal
• Péndulo compuesto
• Péndulo cónico
• Péndulo de Foucault
• Péndulo de Foucault (lista)
• Péndulo de Kater
• Péndulo de Newton
• Péndulo de Pohl
• Péndulo de torsión
• Péndulo esférico
• Péndulo físico
• Péndulo simple equivalente
• Reloj de péndulo
• Teorema de Huygens
• Oscilador armónico
• Doble péndulo
• Metrónomo

 

https://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_simple