EL NÚMERO DE ORO

Tres números con nombre.

La sección áurea y el número de oro.

El rectángulo áureo.

Pitágoras y el número de oro.

La sucesión de Fibonacci.

El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza.

La trigonometría y el número de oro.

Curiosidades áureas.

Tres números con nombre
Hay tres números de gran importancia en matemáticas y que
"paradójicamente" nombramos con una letra. Estos números son:

El número designado con la letra griega = 3,14159....(Pi) que
relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro ( Longitud
= 2..radio= .diámetro).

El número e = 2´71828......, inicial del apellido de su descubridor
Leonhard Euler (matemático suizo del siglo XVIII) que aparece como
límite de la sucesión de término general .

El número designado con letra griega = 1,61803... (Fi), llamado número
de oro y que es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que
lo tuvo presente en sus obras.

Los tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos
(sus cifras decimales no se repiten periódicamente). A estos números
se les llama irracionales. Cuándo se utilizan se escriben solamente
unas cuantas cifras decimales (en los tres ejemplos de arriba hemos
tomado 5).

Una diferencia importante desde el punto de vista matemático entre los
dos primeros y el número de oro es que los primeros no son solución de
ninguna ecuación polinómica (a estos números se les llama
trascendentes), mientras que el número de oro si que lo es.
Efectivamente, una de las soluciones de la ecuación de segundo grado
es que da como resultado el número de oro.

La sección áurea y el número de oro
La sección áurea es la división armónica de una segmento en media y
extrema razón. Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor,
como este es a la totalidad. De esta manera se establece una relación
de tamaños con la misma proporcionalidad entre el todo dividido en
mayor y menor. Esta proporción o forma de seleccionar
proporcionalmente una línea se llama proporción áurea.

Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en el la división
indicada anteriormente

Aplicando la proporción áurea obtenemos la siguiente ecuación que
tendremos que resolver

Una de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es x=.

Lo sorprendente ahora es calcular el valor que se obtiene al dividir
el segmento mayor entre el menor,

Es decir, la relación entre las dos partes en que dividimos el
segmento es el número de oro.

El rectángulo áureo
Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados.
Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa
distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado
mayor del rectángulo.

Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor
del rectángulo vale por lo que la proporción entre los dos lados es
(nuestro número de oro).

Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A
partir de este rectángulo podemos construir otros semejantes que, como
veremos mas adelante, se han utilizando en arquitectura (Partenón,
pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnets, cajetillas
de tabaco, etc...).

Una propiedad importante de los triángulos áureos es que cuando se
colocan dos iguales como indica la figura, la diagonal AB pasa por el
vértice C.

En efecto, situemos los rectángulos en unos ejes de coordenadas con
origen en el punto A. Las coordenadas de los tres puntos serán
entonces:

Vamos a demostrar que los vectores y son proporcionales:

Por lo tanto, los tres puntos están alineados.

Pitágoras y el número de oro
Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y matemático griego, nació en
la isla de Samos. Fue instruido en las enseñanzas de los primeros
filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice
que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su
aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló en
Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un
movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos,
conocido como pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a
través de la obra de sus discípulos.

Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos
puntos a los enigmas del orfismo. Aconsejaban la obediencia y el
silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el
vestir y en las posesiones, y el hábito del autoanálisis. Los
pitagóricos creían en la inmortalidad y en la trasmigración del alma.
Se dice que el propio Pitágoras proclamaba que él había sido
Euphorbus, y combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido
permitido traer a su vida terrenal la memoria de todas sus existencias
previas.

Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los
pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares
y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de
los números. Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el
concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de
toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos
estudios, establecieron una base científica para las matemáticas. En
geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la
hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el
cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Una revuelta provocada en Crotona, por una asociación de ideas
contrarias a las pitagóricas, terminó con el incendio de la sede. Se
cree que Pitágoras se vio obligado a huir de Crotona y murió en
Metaponto. La persecución de los pitagóricos provocó el éxodo a la
Grecia Continental, dando lugar a la difusión de las ideas
pitagóricas.

La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la tradición,
el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban
que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo
tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su
propio símbolo se encontrara un número raro: el numero de oro.

Por ejemplo, la relación entre la diagonal del pentágono y su lado es
el número de oro.

También podemos comprobar que los segmentos QN, NP y QP están en
proporción áurea.

Ver la sección La trigonometría y el número de oro.

La sucesión de Fibonacci
Consideremos la siguiente sucesión de números:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le
preceden. Por ejemplo, 21 = 13 + 8; el siguiente a 34 será 34 + 21 =
55.

Esta sucesión es la llamada "sucesión de Fibonacci"*.

*Es el sobrenombre con el que se conoció al rico comerciante Leonardo
de Pisa (1170-1240). Viajó por el Norte de África y Asia y trajo a
Europa algunos de los conocimientos de la cultura árabe e hindú, entre
otros la ventaja del sistema de numeración arábigo (el que usamos)
frente al romano.

La sucesión de Fibonacci presenta diversas regularidades numéricas.
Para que resulte más sencillo las hemos enunciado en casos
particulares (aunque se cumplen en general) y hemos calculado los
primeros catorce términos de esta sucesión:

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 t13 t14
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377

Si sumas los cuatro primeros términos y añades 1, te sale el sexto
(1+1+2+3 + 1 = 8). Si sumas los cinco primeros términos y añades 1, te
sale el séptimo (1+1+2+3+5 + 1 = 13).

Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición impar
(t1,t3,t5) sale el sexto término (t6), (1+2+5 = 8). Si sumas los
cuatro primeros términos que ocupan posición impar (t1,t3,t5,t7) sale
el octavo término (t8), (1+2+5+13 = 21).

Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición par (t2,t4,t6)
y añades 1, sale el séptimo término (t7), (1+3+8 + 1 =13). Si sumas
los cuatro primeros términos que ocupan posición par (t2,t4,t6,t8) y
añades 1, sale el noveno término (t9), (1+3+8+21 + 1 =34).

¡Aún las hay más difíciles de imaginar!

Tomemos dos términos consecutivos, por ejemplo: t4=3 y t5=5; elevando
al cuadrado y sumando: 32+52=9+25=34 que es el noveno (4+5) término de
la sucesión. Tomando t6=8 y t7=13; elevando al cuadrado y sumando:
82+132=64+169=233 que es el (6+7) decimotercero término de la
sucesión.

Pero si elevamos al cuadrado los cinco primeros términos y los
sumamos, sale el producto del quinto y el sexto término:
12+12+22+32+52=40=5*8. Si hacemos lo mismo para los seis primeros
términos, sale el producto del sexto y el séptimo término:
12+12+22+32+52+82=104=8*13.

Y quizás la más sorprendente sea la siguiente propiedad. Dividamos dos
términos consecutivos de la sucesión, siempre el mayor entre el menor
y veamos lo que obtenemos:

1 : 1 = 1
2 : 1 = 2
3 : 2 = 1´5
5 : 3 = 1´66666666
8 : 5 = 1´6
13 : 8 = 1´625
21 :13 = 1´6153846....
34 :21 = 1´6190476....
55 :34 = 1´6176471....
89 :55 = 1´6181818....

Al tomar más términos de la sucesión y hacer su cociente nos acercamos
al número de oro. Cuanto mayores son los términos, los cocientes se
acercan más a =1,61803.... En lenguaje matemático,

Efectivamente,

El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza
El número áureo aparece, en las proporciones que guardan edificios,
esculturas, objetos, partes de nuestro cuerpo, ...

Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón
griego.

En la figura se puede comprobar que AB/CD=. Hay más cocientes entre
sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD= y CD/CA=.

Hay un precedente a la cultura griega donde también apareció el número
de oro. En La Gran Pirámide de Keops, el cociente entre la altura de
uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es 2.

Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y
el lado de dicho pentágono es el número áureo. En un pentágono regular
está basada la construcción de la Tumba Rupestre de Mira en Asia
Menor.

Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar en las tarjetas
de crédito, en nuestro carnet de identidad y también en las cajetillas
de tabaco.

Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los
griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió
para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en
1509.

En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las
construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre
perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su
cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo
centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene
por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso,
con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando
los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco.
Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado)
y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la
circunferencia) es el número áureo.

El cuadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de
tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata
de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal
forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se
advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí
basado en el pentagrama místico pitagórico.

En la naturaleza, aparece la proporción áurea también en el
crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en
un tallo, dimensiones de insectos y pájaros y la formación de
caracolas.

La espiral logarítmica

Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD
cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el
rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado
EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se
puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de
rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una
espiral logarítmica.

Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de
matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral
equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es
constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión
geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética).
J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis,
rogando que fuera grabada en su tumba.

La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el
crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y
animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se
mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la
concha del nautilus.

La trigonometría y el número de oro
Consideremos un pentágono regular en el cual se han dibujado las
diagonales. En esta figura sólo aparecen tres ángulos diferentes.
Miden 36º, 72º y 108º. La relación entre estos ángulos es la
siguiente: 72 es el doble de 36 y 108 es el triple de 36. Hay varios
tipos diferentes de triángulos isósceles, de los cuales seleccionamos
tres: los triángulos ABE, ABF y AFG. El resto de triángulos son
semejantes a alguno de estos y no aportan información adicional.
Finalmente, hay cuatro segmentos diferentes en estos triángulos, que
llamaremos: BE=a, AB=AE=b, AF=BF=AG=c y GF=d. Las longitudes de estos
segmentos cumplen: a>b>c>d.

Consideremos cada uno de estos triángulos por separado y apliquemos el
teorema del seno.

Triángulo ABE

Triángulo ABF

Triángulo AFG

Como 72º=180º-108º, se verifica que sen72º=sen108º.

En consecuencia podemos establecer las siguientes proporciones:

Es decir, una vez ordenadas las longitudes de los cuatro segmentos de
mayor a menor, la razón entre cada una de ellas y la siguiente es
constante e igual a nuestro número de oro.

Tomando la primera de las proporciones, teniendo en cuenta que c=a-b y
haciendo b=1:

(el numero de oro)

Es decir, dos de estos segmentos consecutivos cumplen la proporción
áurea.

Como consecuencia, se verifica .

Curiosidades áureas
Potencias. Los números guardan unas curiosas relaciones entre si.
Efectivamente, podemos deducirlas a partir de la ecuación que tiene
como solución el número de oro:

Potencias 2. Consideremos la sucesión de término general: . Si
calculamos los primeros términos, podemos observar una curiosa
relación entre ellos. Calculando primero algunas potencias

podemos concluir que la sucesión dada se convierte en

Evidentemente, cada término a partir del tercero se puede obtener
sumando los dos anteriores. Lo curioso es que esta relación es la
misma que se verifica en la sucesión de Fibonacci.

Limites. Comprobemos que los siguientes límites dan como resultado el
número de oro:
1 2

1. Llamemos "L" al valor del límite. Fácilmente se comprueba que se
verifica la ecuación . Elevando al cuadrado los dos miembros y pasando
todos los términos a la izquierda se obtiene la ecuación final . Una
de las soluciones de esta ecuación es nuestro número de oro .

2. Sea "M" el valor del límite. Se comprueba la relación . Quitando
denominadores y pasando todos los términos a la izquierda se obtiene
la ecuación cuya solución positiva es el número de oro.