Musa ispiratrice del grande scrittore e commediografo Luigi Pirandello, una delle più grandi interpreti del Novecento, era la primogenita del commerciante Pompeo Abba e di Giuseppina Trabucchi, nonché sorella maggiore di Cele. Dopo aver studiato recitazione presso l'Accademia dei Filodrammatici esordì nel 1922 nel dramma Il gabbiano. Si fece immediatamente notare come attrice impetuosa e passionale, dalla recitazione istintuale ed esuberante. Nel 1925 avvenne la svolta decisiva della carriera: Luigi Pirandello, dopo avere letto una critica di Marco Praga che ne esaltava le qualità sceniche, la scritturò immediatamente come prima attrice del suo Teatro d'Arte di Roma (il contratto, firmato il 25 febbraio, prevedeva una paga di 170 lire giornaliere, da allora, divenne la musa e l'interprete fedele del drammaturgo siciliano, dedicandosi esclusivamente ai suoi lavori drammatici come Diana e la Tuda, L'amica delle mogli, Trovarsi e Come tu mi vuoi. Con Pirandello scambiò anche un famoso epistolario, portato avanti fino alla morte del drammaturgo nel 1936. Si tratta di un carteggio di circa 560 lettere scritte dallo scrittore, alle quali l'attrice rispose per 280 volte, poi donato all'Università di Princeton nel New Jersey e pubblicato integralmente soltanto nel 1994. Si è molto discusso, a tal proposito, su una presunta storia d'amore tra l'attrice e il commediografo, soprattutto per la celebrità raggiunta da quest'ultimo, notoriamente sposato, dopo che fu insignito del premio Nobel. È vero, ad ogni modo, che la loro collaborazione ha fruttato pagine memorabili alla storia del teatro italiano. L'esperienza con il Teatro d'Arte durò fino all'estate del 1928. Dalla stagione 1928-1929 formò una propria Compagnia teatrale, con un repertorio allargato, in ogni caso la critica l'acclamò sempre come la massima interprete del teatro pirandelliano. Effettuò fortunate tournée all'estero e, due anni dopo la morte di Pirandello, nel gennaio 1938 sposò negli Stati Uniti un industriale della potente famiglia Millikin e si stabilì a Cleveland fino al 1952, anno della separazione e del conseguente divorzio. Al suo ritorno in Italia riprese a calcare le scene, ma solo saltuariamente. L'ultima sua apparizione sul palcoscenico risale alle recite pirandelliane del 1953. Già alla metà degli anni cinquanta la sua carriera sul palcoscenico poteva considerarsi finita. Pubblicò inoltre la sua autobiografia, La mia vita di attrice. Il 21 febbraio 1933, la Abba debutta davanti ad un microfono della radiofonia EIAR, alle ore 13,15 da Radio Roma, con un breve programma di prosa, negli anni successivi sarà presente ad altre trasmissioni di radiodrammi e commedie. Col grande schermo non ebbe una frequentazione altrettanto importante; fu protagonista in due soli film nel biennio 1933-1934. Una curiosità: Il caso Haller, del 1933, è l'unico film nel quale Marta recitò insieme alla sorella Cele, che aveva voluto a tutti costi insieme a lei anche sui palcoscenici teatrali dal 1927. In seguito si ammalò gravemente di paresi e si ridusse sulla sedia a rotelle. Gli ultimi anni li trascorse a San Pellegrino Terme, per curarsi, completamente lontana dal mondo dello spettacolo. Si spense nella sua città natale, presso la clinica Santa Rita, il giorno prima di compiere 88 anni.