Ebbe una formazione universitaria giuridica a Ferrara, ma iniziò l'attività politica nella sua città natale, mettendosi a disposizione per l'amministrazione delle istituzioni locali. Aurelio Saffi fu consigliere comunale e segretario della Provincia nel biennio 1844-1845. Si accostò presto alle posizioni mazziniane, tanto che nel turbolento anno 1848 partecipò alla principale operazione politica organizzata da Mazzini: la costituzione della Repubblica Romana. Nella capitale il potere fu sottratto al pontefice, allora Pio IX, e affidato a istituzioni di tipo repubblicano,le  democrazie più avanzate, all'epoca rappresentate dagli Stati Uniti d'America. Alla vicenda romana, Saffi prese parte prima come deputato all'Assemblea Costituente, poi come ministro, infine come componente del Triumvirato a capo del nuovo regime, assieme a Carlo Armellini e allo stesso Mazzini. Tale esperienza politica fu di breve durata, poiché la nuova Repubblica cadde nel luglio 1849. Ritiratosi in esilio a Civezza, in Liguria, raggiunse successivamente Mazzini in Svizzera, per poi trasferirsi con lui di nuovo a Londra. Ritornò in patria solo nel 1852, per pianificare una serie di moti rivoluzionari che ebbero luogo a Milano l'anno successivo. Fallito il progetto e condannato in contumacia a vent'anni di carcere, riparò ancora in Inghilterra. A Londra Aurelio sposò, nel 1857, Giorgina Janet Craufurd, da allora nota come Giorgina Saffi (Firenze, 1827 - San Varano di Forlì, 1911) figlia dello scozzese Sir John Craufurd e della nobile Sophia Churchill, ardente mazziniana ed esponente del movimento femminista risorgimentale italiano. Ebbero quattro figli, tutti maschi: Giuseppe Attilio (Londra, 1858 - 1923), Giovanni Emilio ( Napoli, 1861 - 1930), Carlo Balilla Luigi (Genova, 1863 - 1896) e Rinaldo Arturo (San Varano di Forlì, 1868 - 1929). Nel 1860 fu a Napoli, per ricongiungersi nuovamente con Mazzini. Nel 1861 venne eletto deputato al parlamento del nuovo Regno d'Italia. Dopo pochi anni, nel 1864, tornò a vivere a Londra dove rimase fino al 1867, quando si stabilì definitivamente nella villa della campagna di San Varano (una frazione di Forlì). Nell'agosto del 1874 fu arrestato insieme con altri esponenti repubblicani con l'accusa di partecipazione ad un'insurrezione di stampo anarchico. Fu prosciolto nello stesso anno. Nel 1877 si trasferì a Bologna dove cominciò la carriera di docente di Diritto pubblico presso la locale Università. Nel frattempo si occupò della memoria storica dell'amico Mazzini, morto il 10 marzo 1872, curandone gli scritti e la loro pubblicazione. Morì nella sua casa a 70 anni. Villa Saffi è attualmente sede museale. Ad Aurelio Saffi è oggi dedicata la piazza principale di Forlì. Al centro della piazza sorge un monumento alla sua memoria, sormontato da una statua a sua immagine. L'8 gennaio 2011, il presidente della Repubblica Italiana Giorgio Napolitano, in visita a Forlì (7-8 gennaio) per il 150° dell'unità d'Italia, ha reso omaggio ad Aurelio Saffi deponendo una corona ai piedi della statua collocata in sua memoria in piazza Saffi.