Nacque in una famiglia appartenente alla nobiltà minore siciliana ma si trasferì a Milano per i suoi studi musicali che compì al Conservatorio Giuseppe Verdi. Fece il suo debutto nel teatro dell'opera a Lisbona, in Portogallo nel 1862. La sua carriera ebbe poi una svolta nel 1865 quando venne chiamato a sostituire il celebre tenore Enrico Tamberlik a Madrid. Nei tren'anni successivi, Stagno cantò un vasto repertorio in Spagna, Italia, Francia e Russia, raggiungendo la fama di uno dei più grandi tenori eurepei del suo tempo. Stagno era popolare anche in Argentina, dove cantò per la prima volta nel 1879, e cantò anche, per un'intera stagione (1883-84) negli Stati Uniti, a New York al Metropolitan Opera House. Fu letteralmente il primo solista a cantare al Met, perché egli interpretò il ruolo di Faust, nella produzione di apertura del teatro il 22 ottobre 1883. Riprese la sua carriera in Italia e in Sud America. A Roma, il 17 maggio 1890, fu interprete della storia dell'opera creando il ruolo di Turiddu alla prima rappresentazione dell'opera verista Cavalleria rusticana di Pietro Mascagni. La sua compagna, il soprano Gemma Bellincioni, cantò nel ruolo di Santuzza (si erano incontrati sulla nave mentre si recavano a Buenos Aires nel 1886 con una troupe di cantanti). La loro figlia, Bianca Stagno-Bellincioni (1888-1980), fu una cantante e attrice. Nel 1945 pubblicò un'autobiografia nella quale parlava anche dei suoi genitori. Stagno morì, a soli 57 anni, a Genova per problemi renali e cardiaci. È sepolto a Livorno, assieme alla compagna Gemma Bellincioni, nel cimitero di Montenero. Non sono rimaste registrazioni della sua voce.