Figlio di Clementina Tilche e Angelo Bolaffi, un impresario di teatro e di spettacolo residente a Livorno ma cittadino britannico. La nazionalità inglese è data dal nonno, Nathan Bolaffi, un'importante e molto agiato mercante di piume di struzzo e pietre preziose residente a Gibilterra. L'attività del padre Angelo che si svolse con alterne fortune e complesse vicende familiari portarono il piccolo Alberto all'affidamento alle zie di origini ungheresi e residenti a Torino. Il giovane Alberto frequentò così a Torino gli studi scolastici che non poté però portare a compimento in quanto dovette conciliare la scuola con inderogabili ragioni di lavoro. Da aiutante in un negozio di stoffe alla rappresentanza di biciclette inglesi Ormonde, allora molto richieste. Alla passione della bicicletta (tanto da partecipare a numerose gare) si affiancò presto quella per i francobolli. La sua perfetta conoscenza di una decina di lingue e i numerosi scambi epistolari lo portarono, a soli sedici anni, ad intraprendere l'attività di mercante di francobolli. I primi annunci pubblicitari dell'attività risalgono al 1890. Fra il 1892 e il 1893 Alberto otterrà le necessarie autorizzazioni per operare specificamente nel settore. All'attività di compra-vendita di francobolli, Alberto affiancò anche quella delle figurine Liebig (di cui pubblica uno dei primi cataloghi) e delle monete. Gli inizi non furono certo facili. Sebbene in quegli anni la filatelia fosse già molto popolare come forma di collezionismo, non si riscontrava la disponibilità ad effettuare grossi investimenti per i francobolli più rari da parte dei collezionisti italiani. Inoltre in Italia, contrariamente ai paesi dell'Europa centro-settentrionale, il commercio filatelico non è ancora un'attività del tutto riconosciuta. Un aneddoto sul matrimonio di Alberto con Vittoria Foa, avvenuto nel 1901, lo conferma: Alberto quando si presentò ai futuri suoceri, benché avesse tutte le carte in regola per essere accettato in seno alla famiglia della futura sposa visto il suo modo di porgersi, venne invitato ad uscire dalla loro casa quando essi appresero dell'attività del pretendente. I genitori di Vittoria, austeri funzionari delle ferrovie sabaude, esclamarono che si trattava di un'attività poco seria, non confacente agli obblighi a cui sarebbe stato tenuto un futuro padre di famiglia. Malgrado questo episodio Alberto Bolaffi non si scoraggiò e, dopo due anni, "il commerciante di francobolli" e Vittoria convolarono felicemente a nozze. Nacquero quattro figli: Giulio che continuò brillantemente l'attività ereditata dal padre, Sandra, Roberto fu un brillantissimo medico e uno fra i più giovani docenti di ginecologia dei suoi tempi e Dante che trascorse gran parte della sua vita a New York dove esercitò la stessa attività del padre. L'impegno nel lavoro, le sua indubbie doti e capacità, e una certa notorietà lo portarono ad essere uno dei più ascoltati giurati nelle esposizioni filateliche internazionali. Nel 1936 fu ammesso al prestigioso Roll of Distinguished Philatelists, la nota istituzione britannica sorta nel 1921.Gli ultimi anni della sua vita vennero sconvolti e rattristati dai tragici eventi della seconda guerra mondiale. Nel 1939 una falsa accusa di spionaggio lo porterà in carcere per qualche giorno (si trattava pur sempre, per le autorità fasciste, di un "cittadino britannico di religione ebraica"). Nel 1943 per sottrarsi alle persecuzioni nazi-fasciste, Alberto e Vittoria, celano le proprie vere identità sotto falsi documenti attestanti il cognome "Banfi". Muore a Torino il 26 settembre 1944, «...il giorno dopo l'operazione; era in ospedale per un intervento non grave». Il figlio Giulio, che durante la Resistenza è un comandante partigiano e si trova in montagna, seppe della morte del padre solo il 14 ottobre: «[ Il mio pensiero corre sempre al mio indimenticabile Papà, a quell'uomo di eccezione. Quale sconforto! Quale triste situazione la mia. Il mio adorato è morto il 26/9 alle 18.30 e l'ho saputo il 14/10 alle 18.30 ».