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Dopo aver conseguito il diploma dell'Istituto Magistrale, studiòall'Accademia d'arte drammatica, dove conseguì il diploma nel 1946, e iniziò la carriera di attore teatrale nel 1947 con la compagnia Maltagliati-Gassman, ottenendo subito ottimi giudizi critici nelle sue interpretazioni di lavori teatrali quali "Don Giovanni", "Erano tutti miei figli", "Casa Monastier" "L'aquila a due teste", prima di diventare capocomico. Era sposato con la soubrette del teatro di rivista milanese Ermellina Banfi. Dotato di una dizione perfetta e inconfondibile e di un timbro di voce caldo e armonioso, Buazzelli seppe trarre partito dal contrasto tra la sua stazza ingombrante e l'eleganza del gesto e della parola per creare un tipo umano insieme vigoroso e ombroso, a tratti sognante, capace di passare naturalmente dal comico al drammatico. L'obesità favorì la neoplasia che lo condusse alla morte a soli 58 anni. Considerato tra i migliori interpreti brechtiani del Novecento, è ricordato per l'interpretazione di Galileo Galilei nella Vita di Galileo nella stagione 1962/1963. L'incontro con Strehler risaliva al 1952, quando il regista lo chiamò per mettere in scena Elisabetta d'Inghilterra, Il revisore e Sei personaggi in cerca d'autore. Nel 1955 Lucio Ardenzi lo coinvolge in una tournée nell'America del Sud - Brasile, Argentina, Uruguay - organizzata con l’appoggio del Ministero dello Spettacolo. Fra i partecipanti attori del calibro di Enrico Maria Salerno, Luigi Vannucchi, Anna Proclemer, Giorgio Albertazzi, Renzo Ricci, Eva Magni, Glauco Mauri, Davide Montemurri, Franca Nuti, Isa Crescenzi e Bianca Toccafondi. A parte il Re Lear di Shakespeare, che vedeva riuniti nello stesso spettacolo tutti gli attori principali della compagnia, il repertorio era tutto italiano: Corruzione al palazzo di giustizia, Beatrice Cenci in prima mondiale, Il seduttore. Tornerà sul palcoscenico del Piccolo Teatro di Milano solo nel 1959, con Platonov. Esordisce nel cinema interpretando una piccola parte nel film "Il cavaliere misterioso", nel 1948. In seguito apparirà in più di 20 film in svariati ruoli, spesso da comprimario e talvolta anche come "spalla" di comici affermati quali Totò e Renato Rascel. Nel 1954 Buazzelli esordisce in televisione, apparendo in una riduzione per il piccolo schermo negli Spettri. Sarà proprio il mezzo televisivo che contribuirà in larga parte alla sua notorietà, non solo con la sua partecipazione all'edizione 1961-62 di Canzonissima, ma anche con le sue interpretazioni di sceneggiati tratti da opere teatrali quali Il malato immaginario nel 1963, Charlow e le figlie  nel 1966, il Circolo Pickwick nel 1967 e Tartarino sulle Alpi di Daudet, nel 1968. Assolutamente indimenticabile, e forse insuperato, nella parte del giudice Cust in Corruzione al Palazzo di giustizia   nel 1966. Nel 1970, oltre che interprete, fu anche sceneggiatore e regista di Papà Goriot. Ancora nel 1978 diede una magistrale interpretazione del protagonista dello sceneggiato Il balordo. Le sue ultime interpretazioni televisive furono il Faust nel 1977, e come conduttore dello spettacolo Il piatto ride per l'emittente privata romana "Video Uno". Ma l'apice della sua popolarità lo raggiunse interpretando il personaggio dell'investigatore privato "Nero Wolfe", in una serie di dieci telefilm trasmessi tra il 1969 e il 1971, interpretati anche da Paolo Ferrari (nel ruolo di Archie Goodwin) e Pupo De Luca (nel ruolo del cuoco svizzero Fritz Brenner). Lo sceneggiato raggiunse 19 milioni di spettatori di media a puntata.